Podstawowe pojęcia.

[danielbr3]

Może mógłby mi ktoś wyjaśnić o co chodzi w tym fragmencie bo kompletnie tego nie rozumiem. Nikt nam nawet nigdy nie wyjaśnił dobrze czym jest przekształcenie liniowe więc jeśli można to proszę o łopatologiczne wyjaśnienie. Wszystkie definicje które znalazłem w necie nie były dla mnie zbyt zrozumiałe. Dla wyjaśnienia kontekstu jest to fragment z wykładu o mechanice płynów gdzie wyprowadzany jest własnie wzór na siłę powierzchniową. Wektor n jest wektorem normalnym do płaszczyzny, sigma to wektor naprężeń a Theta to tensor naprężeń. Problem jest jednak głównie po stronie matematycznej gdyż nie wiem skąd się biorą te przekształcenia. Algebra była u nas bardzo słabo wyjaśniona i opierała się na nauczeniu schematów do konkretnych zadań a teraz niestety nie mam czasu na nauczenie się jej.

Załóżmy, że wersor normalny \(\displaystyle{ \vec{n} }\) pokrywa się z wersorem bazy \(\displaystyle{ e_{j} }\). Wektor naprężeń
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)}\) ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ e_{j} , j=1,2,3\right\} }\) jednoznaczne przedstawienie, a mianowicie \(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij}\left( t, \vec{x} \right)e _{i} }\) (sumowanie po i)
Ogólna formuła dla wektora naprężeń może być zatem zapisana następująco
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , \vec{n} \right)=n _{j} \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij} \left( t, \vec{x} \right)n _{j} e _{i} =\Theta(t, \vec{x}) \vec{n} }\)
W naszym wyprowadzeniu pojawiła się „w naturalny sposób” macierz, która reprezentuje (w wybranej bazie) tzw. tensor naprężeń. Tensor ten jest na ogół zależny od miejsca i od czasu, czyli mamy do czynienia z polem tensorowym.

Zauważmy, że tensor naprężeń \(\displaystyle{ \Theta}\) zadaje transformację liniową (sparametryzowaną przez czas t i wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{x} }\)) pomiędzy wektorami w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
\(\displaystyle{ \Theta: E^{3}\ni \vec{w}=w _{j} e _{j}\longmapsto \sigma _{ij} w _{j} e _{i} \in E ^{3} }\)
W szczególności
\(\displaystyle{ \Theta\left( \vec{n} \right)=\Theta \vec{n} =\sigma _{ij} n _{j} e _{i} = \vec{\sigma} }\)

[janusz47]

Algebraiczny opis - wektora i tensora naprężeń jest ściśle związany w tym przypadku z fizycznymi własnościami cieczy.
Dlatego, aby zrozumieć ten opis, musimy rozpocząć nasze rozważania od teorii płynów.

Model płynu lepkiego

Przypuśćmy, że rozpatrujemy pewien nieskończenie mały element płynu w kształcie czworościanu. Na element ten działają siły masowe i siły powierzchniowe.

Oznaczając objętość czworościanu przez \(\displaystyle{ d \tau = dx\cdot dy \cdot dz, }\) możemy określić jego masę jako iloczyn \(\displaystyle{ \rho \cdot d\tau }\)

Równanie zachowania ilości ruchu dla tego płynu ma postać

\(\displaystyle{ \rho\frac{d\vec{u}}{dt} = \rho \vec{f ( \vec{x}, t)}d\tau + \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} -\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (1) }\)

Wektory \(\displaystyle{ \vec{n}, \ \ \vec{e}_{1}, \ \ \vec{e}_{2}, \ \ \vec{e}_{3} }\) orientują odpowiednio elementy \(\displaystyle{ dS_{n}, \ \ dS_{1}, \ \ dS_{2}, \ \ dS_{3} }\)

Zauważmy, że element \(\displaystyle{ d\tau \sim dx\cdot dy \cdot dz }\) jest o rząd mniejszy od elementu \(\displaystyle{ dS \sim dx \cdot dy, }\) wobec tego równanie \(\displaystyle{ (1) }\) możemy aproksymować do postaci:

\(\displaystyle{ \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} = \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} +\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} + \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (2) }\)

Jeśli składowe wektora normalnego do powierzchni płynu oznaczymy przez

\(\displaystyle{ \vec{n} = n_{1} \vec{e}_{1} + n_{2}\vec{e}_{2} + n_{3}\vec{e}_{3} = \cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{1} +\cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{2} + cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{3}, }\)

to między ściankami czworościanu zachodzą relacje

\(\displaystyle{ dS_{1}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{2}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{3}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}) \ \ (3) }\)

Podstawiając równości \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (2) }\), otrzymujemy z liniowości przekształcenia

\(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) = \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{1} )\cdot n_{1} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{2} )\cdot n_{2} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{3} )\cdot n_{3} = \sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{1}\cdot \vec{e}_{1} +\sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{2} \cdot \vec{e}_{2} +\sigma(t, \vec{x})\cdot n_{3} \cdot \vec{e}_{3} \ \ (4)}\)

Gęstość rozkładu sił powierzchniowych określona wektorem \(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) }\) nazywamy wektorem naprężenia (naprężeń)

Z równania \(\displaystyle{ (4) }\) wynikają trzy równania skalarne

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sigma(t, \vec{x},e_{1})= \sigma_{11} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{21}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{31}(t, \vec{x}) n_{3}\\
\sigma(t, \vec{x},e_{2})= \sigma_{12} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{22}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{32}(t, \vec{x}) n _{3} \\
\sigma(t, \vec{x},e_{3}) = \sigma_{13} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{23}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{33}(t, \vec{x}) n_{3} \end{cases} }\)

Powyższy układ równań może być zapisany w postaci

\(\displaystyle{ \vec{\sigma}(t, \vec{x}, \vec{e}_{n}) = \Theta(t, \vec{x})\cdot \vec{n} }\)

gdzie macierz

\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & \sigma_{21}(t, \vec{x}) & \sigma_{31}(t, \vec{x})\\
\sigma_{12}(t, \vec{x}) & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) \\
\sigma_{13}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)

jest tensorem stanu naprężenia - tensorem naprężenia.

Tensory naprężeń (napięć) mają szereg właściwości. Do najważniejszych z nich należy niezmienniczość względem przekształceń ortogonalnych i symetryczność.

Model płynu nielepkiego (idealnego)

Przypomnijmy znane ze szkoły Prawo Blaisa Pascala: "ciśnienie w cieczy rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach i jest zawsze prostopadle skierowane do powierzchni granicznych".

Opierając się na tym prawie, przyjmujemy równość naprężeń normalnych (prostopadłych) w każdym z trzech kierunków

\(\displaystyle{ \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}. }\)

Możemy sformułować definicję cieczy nielepkiej (idealnej) jako ośrodka ciągłego, w którym istnieją tylko napięcia normalne jednakowe w każdym kierunku. Napięcia styczne są równe zeru.

Proszę napisać postać tensora naprężenia dla tego modelu.

[danielbr3]

Dla płynu nielepkiego wektor bedzie taki, tylko skladowe dzialajace na kierunkach głownych bez skladowych stycznych.
\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & 0 & 0\\
0 & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)

Możesz wyjasnic jeszcze jak sa wyznaczone te 3 rownania skalarne z rownania (4) bo jakoś tego nie widze?
Oraz co oznacza jeszcze ostatnia linijki w moim poscie.
Reszta już troche mi sie rozjaśniła

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 48 sekundach:
Jeszcze jakby żeby policzyć składową normalną to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?

[janusz47]

Odpowiedź poprawna. Macierz tensora naprężeń \(\displaystyle{ \Theta }\) jest macierzą diagonalną, zwierającą na diagonali naprężenia w kierunkach głównych.

To przekształcenie wynika z definicji kosinusów kierunkowych.

[danielbr3]

Mam też coś takiego w prezentacji:
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?

[janusz47]

Tak, to będzie wektor składający się z elementów na diagonali (na przekątnej).

[danielbr3]

To czemu mam w wykladzie mam napisane ze to bedzie
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Skoro wedlug tego co policzylem da to wynik zawierajacy rowniez naprezenia styczne.

[janusz47]

Z Twojego zapisu wynika, że jest to forma kwadratowa, zawierająca także składniki mieszane - naprężenia styczne.

[danielbr3]

Z Twojego zapisu wynika, że jest to forma kwadratowa, zawierająca także składniki mieszane - naprężenia styczne.

Tak, wiec coś jest chyba w tym nie tak, ale ten pierwszy wzor mialem podany na wykladzie i wydaje mi sie ,ze dobrze go rozpisalem.

[janusz47]

Ten zapis po 1 godzinie 34 minutach 48 sekundach powinien zawierać tylko składowe normalne.