Wyjaśnię, że pomimo obecności tego twierdzenia w programie wykładu, na algebrze liniowej tego typu zadań nie ruszaliśmy na ćwiczeniach
Nie wiem, czy nie funkcjonuje pod tą nazwą coś jeszcze, podam to co ja pod tą nazwą miałem:
Ukryta treść:
Twierdzenie (O izomorfizmie ): Załóżmy, że \(\displaystyle{ \varphi \colon V_1 \to V_2}\) jest epimorfizmem przestrzeni liniowych oraz \(\displaystyle{ \ker \varphi = W}\). Wtedy istnieje dokładnie jeden izomorfizm \(\displaystyle{ \psi \colon V_1 / W \to V_2}\) taki, że \(\displaystyle{ \psi \circ \kappa = \varphi}\).
Przy czym \(\displaystyle{ \kappa(\alpha)=\alpha+W}\) - tzw. homomorfizm naturalny dla podprz. \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni-dziedziny \(\displaystyle{ \kappa}\).
Znalazłem (choć takie zadania pominęliśmy), np. przykłady zadań że należy po prostu udowodnić, że \(\displaystyle{ V_1/W\cong V_2}\) dla prz. lin. \(\displaystyle{ V_1,V_2}\) i podprz. lin. \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\)... no bo z tw. jeśli tylko wskażemy odwz. liniowe \(\displaystyle{ \varphi\colon V_1\to V_2}\), takie że \(\displaystyle{ \ker\varphi=W}\), to ten izomorfizm istnieje. Ale tu tak jakby z "dużej" części tego twierdzenia się nie korzysta...
Przejrzałem jeszcze raz notatki i chyba w dowodzie żadnego później twierdzenia nie było również wykorzystane. (pewnie dlatego musiałem je sobie w ogóle znowu przypomnieć, kompletnie się nie utrwala wiedza, która tak "wisi w powietrzu" )
Jest jakiś ciekawy przykład zastosowania tego twierdzenia (tak w całości, włącznie z tym złożeniem? Do czego ono tak "typowo" służy? Jakieś zadanie "na zastosowanie tego tw." można gdzieś znaleźć? (tylko ambitnego to nie ugryzę xD))
Pożalę isę, że mnie się z treści twierdzenia wyobrażał przykład, ale wyszło mi, że to ślepa uliczka:
Ukryta treść:
gdy np. ciężko wskazać bezpośrednio izomorfizm ale znajdujemy jakieś odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \varphi\colon V_1\to V_2}\) ... I np. ciężko pokazać, że jest różnowartościowe. Powiedzmy, że dało się je dobrać żeby było \(\displaystyle{ \ker\varphi=W}\) (Załóżmy, że \(\displaystyle{ W\neq\{0\}}\) bo wtedy \(\displaystyle{ \varphi}\) już jest różnowartościowe ) i wtedy:
Wiemy (też prosty fakt), że \(\displaystyle{ \kappa(\alpha)=\alpha+W}\) jest epimorfizmem.
Gdyby JESZCZE udało się wykazać, że \(\displaystyle{ \kappa}\) jest w danym przypadku różnowartościowe, to \(\displaystyle{ \psi \circ \kappa = \varphi}\) dla pewn. izomorfizmu \(\displaystyle{ \psi\colon V_1 / W \to V_2}\) i byłoby że \(\displaystyle{ \varphi}\) też musi być różnowartościowe.
Ale \(\displaystyle{ \ker\kappa=W}\), więc \(\displaystyle{ \kappa}\) różnowartościowe i tak być nie może Czyli do wykazywania, że \(\displaystyle{ V_1/W\cong V_2}\) to-to nie służy.
Wspomniane twierdzenie wyjaśnia naturę ilorazów przestrzeni liniowych. Załóżmy mianowicie, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową i \(\displaystyle{ U \le V}\). Jeśli uda Ci się znaleźć przestrzeń liniową \(\displaystyle{ W}\) wraz z epimorfizmem liniowym \(\displaystyle{ \varphi : V \to W}\) takim, że \(\displaystyle{ U = \ker \varphi}\), to z twierdzenia otrzymasz \(\displaystyle{ V/U \cong W}\). Oczywiście zawsze można dobrać \(\displaystyle{ W = V/U}\) i \(\displaystyle{ \varphi = \kappa}\), ale rzecz w tym, by \(\displaystyle{ W}\) była przestrzenią liniową którą łatwo zrozumieć, bo to pozwala zrozumieć przestrzeń \(\displaystyle{ V/U}\) poprzez jej izomorfizm z \(\displaystyle{ W}\).
Zadanie: Niech \(\displaystyle{ V = \mathcal{C}[0, 1]}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f : [0, 1] \to \RR}\) z naturalną strukturą przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\) oraz niech \(\displaystyle{ W = \left\{ f \in V : f(0) = f \big( \textstyle{ \frac{2}{3} } \big) = 0 \right\}}\). Wyznaczyć wymiar \(\displaystyle{ V/W}\).
Do zadania: wystarczy że wezmę izomorfizm \(\displaystyle{ \varphi\colon V\to\mathbb{R}^2}\) wzorem \(\displaystyle{ \varphi(f)=\left[f(0),f\left(\frac{2}{3}\right)\right], f\in C[0,1]}\). Wtedy \(\displaystyle{ \ker\varphi=\left\{f\in C[0,1]\colon\left[f(0),f\left(\frac{2}{3}\right)\right]=[0,0]\right\}=W}\) i z twierdzenia \(\displaystyle{ V/W\cong \mathbb{R}^2}\) czyli wymiar \(\displaystyle{ V/W}\) jest równy \(\displaystyle{ 2}\), co zresztą intuicyjne. Ale patrząc, że (chyba) \(\displaystyle{ C[0,1]}\) jest nieskończonego wymiaru no to tak trochę by mogło onieśmielić a z twierdzenia można sprawdzić. Ok.
Czyli głównie spotkawszy się z jakąś przestrzenią ilorazową szukamy prostszej przestrzeni z nią izomorficznej a do tego odpowiedniego przekształcenia, żeby izomorfizm z twierdzenia wynikał. Łapię. Dzięki ^^