Zastosowanie Twierdzenia O izomorfizmie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Zastosowanie Twierdzenia O izomorfizmie

Post autor: Zaratustra »

Wyjaśnię, że pomimo obecności tego twierdzenia w programie wykładu, na algebrze liniowej tego typu zadań nie ruszaliśmy na ćwiczeniach :roll:
Nie wiem, czy nie funkcjonuje pod tą nazwą coś jeszcze, podam to co ja pod tą nazwą miałem:
Ukryta treść:    
Znalazłem (choć takie zadania pominęliśmy), np. przykłady zadań że należy po prostu udowodnić, że \(\displaystyle{ V_1/W\cong V_2}\) dla prz. lin. \(\displaystyle{ V_1,V_2}\) i podprz. lin. \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\)... no bo z tw. jeśli tylko wskażemy odwz. liniowe \(\displaystyle{ \varphi\colon V_1\to V_2}\), takie że \(\displaystyle{ \ker\varphi=W}\), to ten izomorfizm istnieje. Ale tu tak jakby z "dużej" części tego twierdzenia się nie korzysta... :?

Przejrzałem jeszcze raz notatki i chyba w dowodzie żadnego później twierdzenia nie było również wykorzystane. (pewnie dlatego musiałem je sobie w ogóle znowu przypomnieć, kompletnie się nie utrwala wiedza, która tak "wisi w powietrzu" :?)

Jest jakiś ciekawy przykład zastosowania tego twierdzenia (tak w całości, włącznie z tym złożeniem? Do czego ono tak "typowo" służy? Jakieś zadanie "na zastosowanie tego tw." można gdzieś znaleźć? (tylko ambitnego to nie ugryzę xD))

Pożalę isę, że mnie się z treści twierdzenia wyobrażał przykład, ale wyszło mi, że to ślepa uliczka:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zastosowanie Twierdzenia O izomorfizmie

Post autor: Dasio11 »

Wspomniane twierdzenie wyjaśnia naturę ilorazów przestrzeni liniowych. Załóżmy mianowicie, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową i \(\displaystyle{ U \le V}\). Jeśli uda Ci się znaleźć przestrzeń liniową \(\displaystyle{ W}\) wraz z epimorfizmem liniowym \(\displaystyle{ \varphi : V \to W}\) takim, że \(\displaystyle{ U = \ker \varphi}\), to z twierdzenia otrzymasz \(\displaystyle{ V/U \cong W}\). Oczywiście zawsze można dobrać \(\displaystyle{ W = V/U}\) i \(\displaystyle{ \varphi = \kappa}\), ale rzecz w tym, by \(\displaystyle{ W}\) była przestrzenią liniową którą łatwo zrozumieć, bo to pozwala zrozumieć przestrzeń \(\displaystyle{ V/U}\) poprzez jej izomorfizm z \(\displaystyle{ W}\).

Zadanie: Niech \(\displaystyle{ V = \mathcal{C}[0, 1]}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f : [0, 1] \to \RR}\) z naturalną strukturą przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\) oraz niech \(\displaystyle{ W = \left\{ f \in V : f(0) = f \big( \textstyle{ \frac{2}{3} } \big) = 0 \right\}}\). Wyznaczyć wymiar \(\displaystyle{ V/W}\).
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Zastosowanie Twierdzenia O izomorfizmie

Post autor: Zaratustra »

Okej, chwilę czasu znalazłem.

Do zadania: wystarczy że wezmę izomorfizm \(\displaystyle{ \varphi\colon V\to\mathbb{R}^2}\) wzorem \(\displaystyle{ \varphi(f)=\left[f(0),f\left(\frac{2}{3}\right)\right], f\in C[0,1]}\). Wtedy \(\displaystyle{ \ker\varphi=\left\{f\in C[0,1]\colon\left[f(0),f\left(\frac{2}{3}\right)\right]=[0,0]\right\}=W}\) i z twierdzenia \(\displaystyle{ V/W\cong \mathbb{R}^2}\) czyli wymiar \(\displaystyle{ V/W}\) jest równy \(\displaystyle{ 2}\), co zresztą intuicyjne. Ale patrząc, że (chyba) \(\displaystyle{ C[0,1]}\) jest nieskończonego wymiaru no to tak trochę by mogło onieśmielić a z twierdzenia można sprawdzić. Ok.

Czyli głównie spotkawszy się z jakąś przestrzenią ilorazową szukamy prostszej przestrzeni z nią izomorficznej a do tego odpowiedniego przekształcenia, żeby izomorfizm z twierdzenia wynikał. Łapię. Dzięki ^^
ODPOWIEDZ