Znajdź macierz

[Przybyl]

Dzień dobry. Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak podejść do zadania poniżej ? Szukam różnych własności macierzy jednak nic mi nie przychodzi do głowy.
Niech I oznacza macierz identycznościową rozmiaru 3×3. Rozwiązać
jedno z dwóch poniższych zadań.
a) Podać przykład takiej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A\neq I}\)
rozmiaru 3×3 o wyrazach całkowitych, że \(\displaystyle{ A^3 = I}\).
b) Podać przykład takiej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A^2\neq I}\)
rozmiaru 3×3 o wyrazach rzeczywistych, że \(\displaystyle{ A^3 = I}\).

[a4karo]

a) co powiesz na taki pomysł: `x\to y\to z\to x`?
b) Możesz wziąć np przekształcenie, które nie rusza osi `z` i jest obrotem o `120` stopni w płaszczyźnie `xy`

[Przybyl]

a) co powiesz na taki pomysł: `x\to y\to z\to x`?
b) Możesz wziąć np przekształcenie, które nie rusza osi `z` i jest obrotem o `120` stopni w płaszczyźnie `xy`

Pierwszego nie rozumiem, natomiast drugie - czy to będzie macierz postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\cos120^{\circ}&-\sin120^{\circ}&0\\\sin120^{\circ}&\cos120^{\circ}&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Wychodzi na to, że to działa, jednak jak wpaść na coś takiego ? na jakiej podstawie ? Kwestia doświadczenia i dobrego pomysłu, czy to można jednak jakoś wywnioskować ?

[a4karo]

Macierz to inny zapis przekształcenia liniowego. Wystrzegać to sobie wyobrazic. Zauważ, że w b) trzeci wymiar jest tylko dla ozdoby.

A) \((1,2,3) \rightarrow (3,1,2)\)

[Przybyl]

Szczerze mówiąc nic mi to nie mówi jak rozwiązać to zadanie

[a4karo]

Więcej wskazówek Ci nie dam

[Gosda]

Chodzi o to, że przekształcenia liniowe (przynajmniej w przestrzeni niskiego wymiaru) można sobie wyobrazić. Przekształceniami liniowymi, które z pewnością znasz, są różne symetrie oraz obroty wokół prostych. Czy potrafisz wymyślić taki obrót, który wykonany trzy razy daje odwzorowanie tożsamościowe? Właśnie to zostało Ci zaproponowane: obrót, który zamienia miejscami wszystkie trzy wersory. Teraz tylko zapisać to jako macierz.

[Janusz Tracz]

Można podejść do problemu od strony permutacji i macierzy permutacji. Takie cykliczne przestawianie nasuwa pomysł zbadania permutacji \(\displaystyle{ \tau=\left( 132\right) }\) dla której mamy \(\displaystyle{ \tau ^2=\left( 123\right) \neq \text{id} }\) oraz \(\displaystyle{ \tau ^3=\text{id} }\). Jeśli rozważymy macierz permutacji \(\displaystyle{ \tau }\) daną wzorem \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{\tau}=\left[m_{ i,j}\right] }\) gdzie \(\displaystyle{ m_{i,j}=\delta_{ \tau _i,j}}\) to otrzymamy:

\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{\tau}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{\tau^2}=\mathcal{M}_{\tau}^2 \neq I}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{\tau^3}=\mathcal{M}_{\tau}^3 = I}\)

Zatem macierz \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{\tau}}\) ma szukaną własność.

[kerajs]

Podpunkty a) i b) są tym samym zadaniem.


\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b&0\\ \frac{-1}{b}(a^2+a+1) &-(a+1)&0\\0&0&1\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ a \in \RR \wedge b \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\)