2 Zadania, przekształcenia liniowe

[kiziorx]

Cześć, potrzebuję pomocy, może jakiejś wskazówki jak rozwiązać poniższe zadania:

Zadanie 1
Znaleźć przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi : \RR^4 \rightarrow \RR^3 }\) takie, że \(\displaystyle{ ker \phi = \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \RR^4 : x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} }\) i \(\displaystyle{ \phi (1,1,1,1) = (0,4,8) }\).

Zadanie 2
Niech \(\displaystyle{ V_{1} }\) i \(\displaystyle{ V_{2}}\) będą podprzestrzeniami opisanymi układami równań:

\(\displaystyle{ V_{1} }\) : \(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - x_{2} + 2x_{4}=0 \\ -x_{1} + 2x_{2} + x_{3} -x_{4} = 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ V_{2} }\) :\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1} - 3x_{2} - 2x_{3} + x _{4} = 0 \\ x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3} + x_{4}=0 \end{cases} }\)

Znaleźć wzory na przekształcenie \(\displaystyle{ \pi : \RR^4 \rightarrow \RR^4}\) będące rzutem \(\displaystyle{ \RR^4 }\) na \(\displaystyle{ V_{1}}\) wzdłuż \(\displaystyle{ V_{2}}\) oraz na przekształcenie \(\displaystyle{ \rho : \RR^4 \rightarrow \RR^4}\) będące symetrią \(\displaystyle{ \RR^4}\) względem \(\displaystyle{ V_{1}}\) wzdłuż \(\displaystyle{ V_{2}}\).

[MrCommando]

1. Przekształcenie liniowe jednoznacznie określisz przez podanie odpowiednich wartości na bazie. Potrzebujemy zatem jakiejś bazy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Najpierw znajdź bazę podprzestrzeni opisanej równaniem \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=0}\). Otrzymasz trzy wektory. Łącznie z wektorem \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) będą stanowić one szukaną bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

2. Mamy \(\displaystyle{ \ker\, \pi = V_2}\) oraz \(\displaystyle{ \Im\, \pi = V_1}\).
Z kolei dla każdego \(\displaystyle{ v\in V_1}\) mamy \(\displaystyle{ \rho(v)=v}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ w \in V_2}\) mamy \(\displaystyle{ \rho(w)=-w}\). Musisz znaleźć przekształcenia liniowe o podanych własnościach. Najpierw wyznacz bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V_1, V_2}\). Inaczej nic nie zdziałamy.