Znajdź bazę

[DJcarolo23]

Witam. Proszę o pomoc w zadaniu, w którym mam znaleźć bazę B następującej podprzestrzeni wektorowej:

\(\displaystyle{ V = \{ (a, b, a + 2b, c - a + b) \in \RR^4: a, b, c \in \RR \}}\)

a później wyznaczyć wektor z tej bazy przedstawiony przez współrzędne \(\displaystyle{ v = [-2, 0, 1, 2]_{B} }\).
Moje próby zrobienia tego zadania skończyły się na tym, że wyznaczyłem bazę, która według mnie wygląda tak
\(\displaystyle{ B = \{(1, 0, 1, -1) , (0, 1, 2, 1), (0, 0, 0, 1)\}}\)
i dalej nie wiem co mam zrobić, bo współrzędne wektora to 4 skalary a baza ma tylko 3 wektory. Myślałem o dopełnieniu do bazy, ale to chyba nie o to tu chodzi.

[janusz47]

Układ wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} ,..., \alpha_{k} }\) podprzestrzeni \(\displaystyle{ V }\) jest bazą tej podprzestrzeni, jeśli spełnia warunki:

\(\displaystyle{ (i) }\) jest liniowo niezależny,

\(\displaystyle{ (ii) }\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ V }\) to znaczy \(\displaystyle{ V = lin(\alpha_{1}, \alpha_{2},...,\alpha_{k}). }\)

Jaki stąd wniosek?

Musisz rozszerzyć znaleziony poprawnie Twój układ wektorów o jeden wektor tak, aby układ wektorów spełniał warunki \(\displaystyle{ (i), (ii) }\) bazy podprzestrzeni przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}. }\)

Przedstaw wektor \(\displaystyle{ \vec{v}, }\) jako kombinację liniową wektorów bazy i oblicz współczynniki tej kombinacji (współrzędne wektora w tej bazie).

[DJcarolo23]

Dziękuję za wskazówkę. Po kilku próbach udało mi się znaleźć ten dodatkowy wektor.