Sprawdzenie bazy przestrzeni liniowej oraz macierz odwzorowania

[Bozydar12]

1)Znaleźć bazę przestrzeni liniowej: \(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t) \in \RR^4 ;3x-y+2z-t=0\}}\)
\(\displaystyle{ t=3x-y+2z}\)
\(\displaystyle{ [x,y,z,3x-y+2z]=x[1,0,0,3]+y[0,1,0,-1]+z[0,0,1,2]}\)
Czy jeżeli teraz pokażę, że te 3 wektory są liniowo niezależne, to mam bazę tej podprzestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)?
Wtedy również wymiar tej podprzestrzeni byłby 3, jeżeli dobrze rozumiem?
2)Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2 }\) jest dane w bazie \(\displaystyle{ e_1=(5,2),e_2=(-2,-1)}\) poprzez macierz
A=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1\\3&1\end{bmatrix}}\). Znaleźć macierz odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ e'_1=(1,2),e'_2=(3,1)}\)
Stąd wyliczam macierz przejścia między bazami ze wzoru \(\displaystyle{ P=B_{stara} ^{-1} \cdot B_{nowa} }\), a następnie stosuje wzór : \(\displaystyle{ A'=P ^{-1} \cdot A \cdot P}\)? Czy to jest dobre rozumowanie tutaj?
3)Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^3 \rightarrow \RR^2}\) jest dane w bazach \(\displaystyle{ B_1=\{(1,0,1),(1,1,1),(2,0,1)\},B_2=\{(1,2),(2,-1)\}}\), poprzez macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&-2&1\\2&4&-2\end{bmatrix}}\). Znaleźć jądro tego odwzorowania, jego bazę i wymiar.
Nie do końca rozumiem co mam zrobić w tym zadaniu, normalnie jądro liczyłem przyrównując do zera pewne skalary razy współczynniki macierzy, robiłem z tego równanie i nie zważałem na bazy. Czy mam zrobić w tym zadaniu to co w przykładzie 2) a następnie na bazie nowej macierzy A', obliczyć jądro w podany przeze mnie sposób?