Macierz przejścia
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Macierz przejścia
1)Wyznaczyć macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ \{(1, 0, -1) , (1, -2, 1) , (2, -3, 0)\}}\) do bazy \(\displaystyle{ \{(2, 0, -2) , (0, -1, 2)\}}\)
(w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)).
Mam problem z zastosowaniem twierdzeń odnośnie macierzy przejścia z bazy 3 wektorów, do bazy z 2 wektorów.
Zapisuję wektory bazy 2, jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (2,0,-2) = p_{11}(1,0,-1) + p_{21}(1,-2,1)+p_{31}(2,-3,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-1,2) = p_{12}(1,0,-1)+p_{22}(1,-2,1)+p_{23}(2,-3,0)}\)
Wykładowca podał odpowiedź do zadania, jako macierz 3x3, stąd już to by się nie zgadzało.
2) Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1 (2,1,1),(3,2,1) , B_2 (-1,2,2),(-6,2,4)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
a) Pokazać że są to bazy - tutaj nie ma problemu.
b) Podać macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ B_1}\) do bazy \(\displaystyle{ B_2}\) .
W podpunkcie b nie wiem w jaki sposób pokazać wektory bazy 2 jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (-1,2,2)=p_{11}(2,1,1)+p_{21}(3,2,1)}\)
\(\displaystyle{ (-6,2,4)=p_{21}(2,1,1)+p_{22}(3,2,1)}\)
z podanego układu otrzymuję już przy 1 równaniu sprzeczność, bo:
\(\displaystyle{ p_{11}+2\cdot p_{21}=2}\)
\(\displaystyle{ p_{11}+p_{21}=2}\), więc prawdopodobnie coś robię nie tak. Proszę o pomoc.
(w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)).
Mam problem z zastosowaniem twierdzeń odnośnie macierzy przejścia z bazy 3 wektorów, do bazy z 2 wektorów.
Zapisuję wektory bazy 2, jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (2,0,-2) = p_{11}(1,0,-1) + p_{21}(1,-2,1)+p_{31}(2,-3,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-1,2) = p_{12}(1,0,-1)+p_{22}(1,-2,1)+p_{23}(2,-3,0)}\)
Wykładowca podał odpowiedź do zadania, jako macierz 3x3, stąd już to by się nie zgadzało.
2) Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1 (2,1,1),(3,2,1) , B_2 (-1,2,2),(-6,2,4)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
a) Pokazać że są to bazy - tutaj nie ma problemu.
b) Podać macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ B_1}\) do bazy \(\displaystyle{ B_2}\) .
W podpunkcie b nie wiem w jaki sposób pokazać wektory bazy 2 jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (-1,2,2)=p_{11}(2,1,1)+p_{21}(3,2,1)}\)
\(\displaystyle{ (-6,2,4)=p_{21}(2,1,1)+p_{22}(3,2,1)}\)
z podanego układu otrzymuję już przy 1 równaniu sprzeczność, bo:
\(\displaystyle{ p_{11}+2\cdot p_{21}=2}\)
\(\displaystyle{ p_{11}+p_{21}=2}\), więc prawdopodobnie coś robię nie tak. Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 30 lis 2019, o 23:07 przez Bozydar12, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Macierz przejścia
Tego nie da się zrobić, bo dwa wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) nie tworzą bazy. Ewidentnie zgubiony jest jeden wektor.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Macierz przejścia
Dokładnie tak jest zapisane, też mi się to szczerze powiedziawszy nie podoba :>
Dodano po 3 minutach 18 sekundach:
Poprzednim zadaniem jest to:
\(\displaystyle{ B_1:(2,2),(2,3), B_0:(1,0),(0,1)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
I te same polecenia, tutaj nie mam żadnego problemu, ale potem mam dwa zadania z takimi "kwiatkami" jak napisałem.
Dodano po 3 minutach 18 sekundach:
Poprzednim zadaniem jest to:
\(\displaystyle{ B_1:(2,2),(2,3), B_0:(1,0),(0,1)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
I te same polecenia, tutaj nie mam żadnego problemu, ale potem mam dwa zadania z takimi "kwiatkami" jak napisałem.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Macierz przejścia
No chyba, że chodzi np. o
Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...
Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.
JK
Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...
Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Macierz przejścia
To może jeszcze pytanie odnośnie pokazania, czy wektory są bazą przestrzeni.
Muszę sprawdzić liniową niezależność oraz sprawdzić czy generują przestrzeń. O ile z niezależnością problemów nie mam, o tyle mam problem ze sprawdzeniem czy wektory generują przestrzeń.
Weźmy przykład: \(\displaystyle{ (a,b,c)=x(2,1,3)+y(1,1,-2)+z(2,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(2x+y+2z,x+y+z,3x-2y+z)}\)
Czy aby formalnie pokazać generację przestrzeni muszę rozwiązać układ równań i pokazać że istnieje rozwiązanie dla dowolnego a,b i c?
Dodano po 1 minucie 12 sekundach:
Muszę sprawdzić liniową niezależność oraz sprawdzić czy generują przestrzeń. O ile z niezależnością problemów nie mam, o tyle mam problem ze sprawdzeniem czy wektory generują przestrzeń.
Weźmy przykład: \(\displaystyle{ (a,b,c)=x(2,1,3)+y(1,1,-2)+z(2,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(2x+y+2z,x+y+z,3x-2y+z)}\)
Czy aby formalnie pokazać generację przestrzeni muszę rozwiązać układ równań i pokazać że istnieje rozwiązanie dla dowolnego a,b i c?
Dodano po 1 minucie 12 sekundach:
A mogę spytać co zmienia ten zapis, bo nie bardzo rozumiem?Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o
Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...
Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Macierz przejścia
Ale tego nie sprawdzasz. Każde trzy liniowo niezależne wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) tworzą bazę.
\(\displaystyle{ (2,1;\ 1)=\left( \frac{21}{10},1 \right) }\) itd.Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 23:31A mogę spytać co zmienia ten zapis, bo nie bardzo rozumiem?Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o
Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Macierz przejścia
Ahhh, przecinki, moje niedopatrzenie. Czyli kiedy mam tyle wektorów, ile wynosi wymiar przestrzeni, oraz są one liniowo niezależne, to wystarczający dowód na generowanie przestrzeni tak?
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Macierz przejścia
Tak. Układ liniowo niezależny jest bazą dokładnie wtedy, gdy jest maksymalny. W przestrzeniach skończenie wymiarowych oznacza to, że ma tyle elementów, ile wymiar przestrzeni.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Macierz przejścia
I tu koniecznie trzeba sparafrazować klasyka tego forum: viewtopic.php?f=27&t=443358#p5593866Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o
Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...
Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.
JK
"Wektory pierwszosemestralne z definicji mają współczynniki całkowite"
Dodano po 2 minutach 16 sekundach:
Istniałaby jeszcze drobna szansa, że pary tych wektorów opisują tę samą dwuwymiarową podprzestrzeń w \(\RR^3\), ale prosty rachunek pokazuje, że tak nie jest.