Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór wielomianów stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ \ZZ_2 }\). Ile elementów ma ten zbiór? Wyłączając ze zbioru wielomian zerowy definiujemy iloczyn wielomianów \(\displaystyle{ w_1(x) }\), \(\displaystyle{ w_2(x) }\) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) jako resztę z dzielenia iloczynu \(\displaystyle{ w_1(x) w_2(x) }\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^3 + x + 1 }\)(nad ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_2}\)). Znajdź tabelę mnożenia. Czy \(\displaystyle{ A \setminus\{0\}}\) wraz z powyżej zdefiniowanym mnożeniem jest grupą? Którez wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 3}\) nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) są nierozkładalne na iloczyn wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 3}\).
Rozumiem, że ciało \(\displaystyle{ \ZZ_2 }\), ma osiem elementów i umiem je wypisać nie rozumiem jednak co mam zrobić, mógłby mi ktoś prosto wytłumaczyć?
Wielomian w ciele
-
Nadine
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Wielomian w ciele
Ostatnio zmieniony 30 lis 2019, o 20:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Wielomian w ciele
\(\displaystyle{ \mathbb Z_2}\) wg powszechnie stosowanych oznaczeń nie jest ciałem, tylko nieskończonym pierścieniem 
Ciało \(\displaystyle{ \mathbb F_2}\) reszt module dwa jest skończone i ma dwa elementy. Pierścień ilorazowy, który konstruujesz, ma osiem elementów, dlatego tabela mnożenia będzie miała wymiar \(\displaystyle{ 8 \cdot 8}\). Sześćdziesiąt cztery elementy to całkiem sporo, albo znęcają się nad Tobą na uczelni, albo myślą, że zrobisz to na komputerze.
Do pytania o grupę przyda się fakt, że wielomian \(\displaystyle{ x^3 + x + 1}\) jest nierozkładalny nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb F_2}\).
W ostatnim pytaniu proponuję rozważyć osobno wielokrotności wielomianu \(\displaystyle{ x^3 + x + 1}\) oraz wielomiany, które jego wielokrotnościami nie są.
Ciało \(\displaystyle{ \mathbb F_2}\) reszt module dwa jest skończone i ma dwa elementy. Pierścień ilorazowy, który konstruujesz, ma osiem elementów, dlatego tabela mnożenia będzie miała wymiar \(\displaystyle{ 8 \cdot 8}\). Sześćdziesiąt cztery elementy to całkiem sporo, albo znęcają się nad Tobą na uczelni, albo myślą, że zrobisz to na komputerze.
Do pytania o grupę przyda się fakt, że wielomian \(\displaystyle{ x^3 + x + 1}\) jest nierozkładalny nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb F_2}\).
W ostatnim pytaniu proponuję rozważyć osobno wielokrotności wielomianu \(\displaystyle{ x^3 + x + 1}\) oraz wielomiany, które jego wielokrotnościami nie są.