Subtelność dowodowa

[Jan Kraszewski]

Weźmy Pana definicję inkluzji: \(\displaystyle{ x \in A \subseteq B \Leftrightarrow ( x\in A \implies x \in B )}\)

Teraz to ja mogę poczuć się obrażony. W życiu nie nazwałbym takiego napisu definicją inkluzji - to jest bardzo niepoprawny napis i to zdecydowanie NIE JEST definicja inkluzji. Za coś takiego moi studenci dostają duże zero.

Zatem to co napisałem wyżej o inkluzji jest jedynie opisaniem tego, co widać gołym okiem na diagramie Venna.

Pomijając już, że zaczynasz od zupełnie niepoprawnej "definicji", to zupełnie nie rozumiem, co te przydługie wywody mają uzasadniać.

W dodatku z tego, co napisałem nie wynika bynajmniej zawieranie właściwe. Bo 'może' nie znaczy 'musi'. Zatem moja interpretacja inkluzji w kontekście układów równań jest
-jedyna
-słuszna
-i święta.

Dla Ciebie może być jedyna, słuszna i święta. Nie będę wchodził w to, co uważasz za święte. Natomiast jeśli chodzi o matematykę, to wszystko, co warto było napisać, napisał powyżej krl.

JK

[Dasio11]

A więc: Gdyby operacja trzeciego rodzaju zmieniała liczbę rozwiązań (np. zwiększała), to po jednokrotnym wykonaniu mielibyśmy więcej rozwiązań w zmienionym układzie, a następnie znowu więcej po powrocie do początkowego układu. Zatem sprzeczność. Mamy tu po prostu dowód nie wprost. To samo, gdyby zmniejszała. W ten sposób mamy bardzo prosty i elegancki dowodzik.

Zgodnie z tym, co pisali przedmówcy, powyższy dowód nie jest poprawny, tak samo jak niepoprawne jest poniższe rozumowanie:

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \to (0, \infty)}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\). Wykażemy, że w istocie \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in (0, \infty)}\), czyli mówiąc potocznie, \(\displaystyle{ f}\) nie zmienia swojego argumentu.

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f}\) zwiększa swój argument, czyli \(\displaystyle{ f(x) > x}\). Wtedy też \(\displaystyle{ f(f(x)) > f(x) > x}\), jednak oczywiście \(\displaystyle{ f(f(x)) = x}\), co prowadzi do sprzeczności. W podobny sposób można pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) nie może zmniejszać swojego argumentu. Wobec tego \(\displaystyle{ f}\) ani nie zwiększa, ani nie zmniejsza swojego argumentu, toteż musi go zachowywać.

A w razie gdyby analogia nie była dla Ciebie przekonująca, poniżej dokładne wyjaśnienie błędu w Twoim rozumowaniu:

Dowód jest wybrakowany, bo niejasne jest znaczenie sformułowania "operacja trzeciego rodzaju zwiększa/zmniejsza liczbę rozwiązań". Jest wiele par macierzy \(\displaystyle{ M = [A \mid b]}\), \(\displaystyle{ N = [C \mid d]}\) takich że \(\displaystyle{ N}\) powstaje z \(\displaystyle{ M}\) przez wykonanie operacji [trzeciego rodzaju], należy więc doprecyzować, dla których to par zakładamy, że owa operacja zmienia "liczbę rozwiązań" (a ściślej: zbiór rozwiązań). Jest parę możliwości:

(i) Problematyczne sformułowanie znaczy, że dla każdej pary macierzy \(\displaystyle{ M, N}\) jak wyżej zachodzi \(\displaystyle{ Z ( M ) \subsetneq Z ( N )}\)/\(\displaystyle{ Z ( M ) \supsetneq Z ( N )}\).

W takim przypadku zarówno założenie, że operacja zwiększa liczbę rozwiązań, jak i założenie, że operacja zmniejsza liczbę rozwiązań, prowadzą do sprzeczności. Ale nie wynika z tego, że owa operacja nie zmienia liczby rozwiązań (co należy doprecyzować w analogiczny sposób), bo po pierwsze: nie wykazałeś, że dla macierzy \(\displaystyle{ M, N}\) jw. musi zachodzić jedna z trzech możliwości: \(\displaystyle{ Z ( M ) \subsetneq Z ( N )}\), \(\displaystyle{ Z ( M ) \supsetneq Z ( N )}\), \(\displaystyle{ Z ( M ) = Z ( N )}\), a co za tym idzie: wykluczenie dwóch pierwszych nie dowodzi prawdziwości trzeciej. Po drugie zaś, nawet gdybyś to wykazał, to ze stwierdzenia

\(\displaystyle{ (\forall M, N) \Big( Z ( M ) \subsetneq Z ( N ) \vee Z ( M ) \supsetneq Z ( N ) \vee Z ( M ) = Z ( N ) \Big)}\)

nie wynika, że

\(\displaystyle{ (\forall M, N) \Big( Z ( M ) \subsetneq Z ( N ) \Big) \vee (\forall M, N) \Big( Z ( M ) \supsetneq Z ( N ) \Big) \vee (\forall M, N) \Big( Z ( M ) = Z ( N ) \Big)}\),

a dopiero takie stwierdzenie pozwoliłoby z wykluczenia dwóch pierwszych jego członów - co w istocie zrobiłeś - wywnioskować, iż musi zachodzić człon trzeci.


(ii) Znaczy ono, że dla pewnych macierzy \(\displaystyle{ M, N}\) jak wyżej prawdą jest, iż \(\displaystyle{ Z ( M ) \subsetneq Z ( N )}\)/\(\displaystyle{ Z ( M ) \supsetneq Z ( N )}\).

W tym przypadku Twoje rozumowanie nie prowadzi do sprzeczności: stwierdzasz najpierw, że pewna macierz \(\displaystyle{ N}\) powstaje z pewnej macierzy \(\displaystyle{ M}\) przez wykonanie operacji elementarnej, co zwiększa liczbę rozwiązań, tzn. \(\displaystyle{ Z ( M ) \subsetneq Z ( N )}\). Dalej stwierdzasz, że \(\displaystyle{ N}\) powstaje z \(\displaystyle{ M}\) przez wykonanie operacji odwrotnej, jednak nie wynika stąd, że \(\displaystyle{ Z ( N ) \subsetneq Z ( M )}\) - co prowadziłoby do żądanej sprzeczności - bo \(\displaystyle{ (N, M)}\) może już nie być taką parą, dla której wykonanie operacji elementarnej zwiększa liczbę rozwiązań (wszak wiemy jedynie, że pewna taka para istnieje).

Ponadto takie rozumowanie nie działa z tego samego powodu, co poprzednio: nie wykazałeś, że zachodzi przynajmniej jedna z trzech możliwości:

\(\displaystyle{ (\exists M, N) \Big( Z ( M ) \subsetneq Z ( N ) \Big) \vee (\exists M, N) \Big( Z ( M ) \supsetneq Z ( N ) \Big) \vee (\forall M, N) \Big( Z ( M ) = Z ( N ) \Big)}\),

a więc wykluczając tylko dwa pierwsze człony tej alternatywy nie masz pewności, że zachodzi trzeci.


(iii) Znaczy ono coś innego, i nie bardzo wiadomo co - w tej sytuacji dowód oczywiście nie może być poprawny, skoro zawiera sformułowanie, które nie wiadomo co znaczy.

[pasjonat_matematyki]

Poprawiam, cała reszta wywodu w mocy.
\(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow ( x\in A \implies x \in B )}\)

[Jan Kraszewski]

Poprawiam, cała reszta wywodu w mocy.
\(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow ( x\in A \implies x \in B )}\)

Po pierwsze, to nadal jest niepoprawna definicja inkluzji.
Po drugie, tam nie ma żadnej mocy. Szczerze mówiąc, z mojego punktu widzenia tam nic nie ma.

JK

[pasjonat_matematyki]

Poprawiam, cała reszta wywodu w mocy.
\(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow ( x\in A \implies x \in B )}\)

Po pierwsze, to nadal jest niepoprawna definicja inkluzji.
Po drugie, tam nie ma żadnej mocy. Szczerze mówiąc, z mojego punktu widzenia tam nic nie ma.

JK

To jest definicja inkluzje zaczerpnięta z podręcznika Rasiowej:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podzbi%C3%B3r

Po kliknięciu na stronę najpierw mamy tą formułę z kwantyfikatorem, następnie jest mowa o tym, że inaczej można ten fakt wyrazić tak jak ja to powyżej napisałem. W Wikipedii są na to odnośniki do odpowiednich źródeł. Pewnie chodzi Ci o brak kwantyfikatora. Więc go sobie uzupełnijmy. A następnie na diagramach Venna narysujmy tak jak to wyżej opisałem. Widać na nich wyraźnie poprawność mojej interpretacji inkluzji. Nie ma w tym zatem żadnej nadinterpretacji. To tyle. Pozdrawiam serdecznie.

Dodano po 10 minutach 46 sekundach:
A Ty uważasz, że ten dowód, który ja krytykuję jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

To jest definicja inkluzje zaczerpnięta z podręcznika Rasiowej:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podzbi%C3%B3r

Po kliknięciu na stronę najpierw mamy tą formułę z kwantyfikatorem, następnie jest mowa o tym, że inaczej można ten fakt wyrazić tak jak ja to powyżej napisałem. W Wikipedii są na to odnośniki do odpowiednich źródeł.

W Wikipedii jest napisana bzdura, a w Rasiowej, którą cytują, nic takiego nie ma. Nie należy bezgranicznie ufać Wikipedii.

Pewnie chodzi Ci o brak kwantyfikatora. Więc go sobie uzupełnijmy. A następnie na diagramach Venna narysujmy tak jak to wyżej opisałem.

Z kwantyfikatorem to tak nie działa...

A Ty uważasz, że ten dowód, który ja krytykuję jest poprawny?

Tak.

JK

[pasjonat_matematyki]

Dasio. Już ostatnie pytanie. Jeśli mógłbyś być tak uprzejmy i się do tego odnieść. Na jakiej podstawie ustalany jest kierunek inkluzji w tym dowodzie od którego zaczyna się wątek? Z jakiegoś powodu po jednokrotnym wykonaniu operacji elementarnej ten kierunek jest taki a nie inny.

Dodano po 6 minutach 9 sekundach:

To jest definicja inkluzje zaczerpnięta z podręcznika Rasiowej:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podzbi%C3%B3r

Po kliknięciu na stronę najpierw mamy tą formułę z kwantyfikatorem, następnie jest mowa o tym, że inaczej można ten fakt wyrazić tak jak ja to powyżej napisałem. W Wikipedii są na to odnośniki do odpowiednich źródeł.

W Wikipedii jest napisana bzdura, a w Rasiowej, którą cytują, nic takiego nie ma. Nie należy bezgranicznie ufać Wikipedii.

Pewnie chodzi Ci o brak kwantyfikatora. Więc go sobie uzupełnijmy. A następnie na diagramach Venna narysujmy tak jak to wyżej opisałem.

Z kwantyfikatorem to tak nie działa...

A Ty uważasz, że ten dowód, który ja krytykuję jest poprawny?

Tak.

JK

Sprawdziłem w Rasiowej. Na podstawie tego, co jest tam napisane moja interpretacja inkluzji na diagramach Venna jest prawidłowa. A to one są kluczowe w kwestii tego, czy moja interpretacja inkluzji jest nadinterpretacją, czy też nie. Otóż na tych diagramach widać, że nie jest.

[Jan Kraszewski]

Na podstawie tego, co jest tam napisane moja interpretacja inkluzji na diagramach Venna jest prawidłowa. A to one są kluczowe w kwestii tego, czy moja interpretacja inkluzji jest nadinterpretacją, czy też nie. Otóż na tych diagramach widać, że nie jest.

Powtórzę to, co napisał krl:

można w ten sposób rozumieć definicję inkluzji zbiorów. Jednak z zastrzeżeniem, że obowiązuje oficjalna formalna definicja, a powyższy cytat jest jej potocznym omówieniem.

I nie mam nic więcej do dodania w tej kwestii.

JK

[pasjonat_matematyki]

Powtórzę to, co napisał krl:

można w ten sposób rozumieć definicję inkluzji zbiorów. Jednak z zastrzeżeniem, że obowiązuje oficjalna formalna definicja, a powyższy cytat jest jej potocznym omówieniem.

I nie mam nic więcej do dodania w tej kwestii.
JK

Nigdzie nie napisałem, że jestem przeciwko oficjalnym definicjom. A coś co jest ich potocznym omówieniem nie wykracza poza nie tylko dlatego, że jest ich potocznym omówieniem. Skoro zatem zbiór rozwiązań drugiego układu mógłby być obszerniejszy niż pierwszego po jednokrotnym wykonaniu operacji elementarnej, tak jak to widać na diagramie Venna, to nadal nie wiadomo na jakiej podstawie dopuszcza się taką możliwość.

[Dasio11]

Na jakiej podstawie ustalany jest kierunek inkluzji w tym dowodzie od którego zaczyna się wątek? Z jakiegoś powodu po jednokrotnym wykonaniu operacji elementarnej ten kierunek jest taki a nie inny.

Do wykazania jest równość \(\displaystyle{ Z \big( [A \mid b] \big) = Z \big( [C \mid d] \big)}\) przy założeniu, że macierz \(\displaystyle{ [C \mid d]}\) powstaje z macierzy \(\displaystyle{ [A \mid b]}\) przez wykonanie operacji elementarnej. Należy to zrobić - jak zawsze - przez wykazanie dwóch inkluzji. Z tym, że bezpośredni dowód inkluzji \(\displaystyle{ Z \big( [A \mid b] \big) \subseteq Z \big( [C \mid d] \big)}\) (który przedstawiłem wcześniej) jest delikatnie bardziej naturalny od bezpośredniego dowodu inkluzji przeciwnej. A ponieważ w takiej sytuacji również macierz \(\displaystyle{ [A \mid b]}\) powstaje z \(\displaystyle{ [C \mid d]}\) przez wykonanie odwrotnej operacji elementarnej, do wyboru mamy trzy drogi:

(i) wykazać w naturalny sposób inkluzję \(\displaystyle{ Z \big( [A \mid b] \big) \subseteq Z \big( [C \mid d] \big)}\) a potem w trochę mniej naturalny sposób inkluzję przeciwną;

(ii) wykazać w naturalny sposób inkluzję \(\displaystyle{ Z \big( [A \mid b] \big) \subseteq Z \big( [C \mid d] \big)}\) i powołać się na symetrię, co natychmiast daje inkluzję przeciwną;

(iii) wykazać w trochę mniej naturalny sposób inkluzję \(\displaystyle{ Z \big( [A \mid b] \big) \supseteq Z \big( [C \mid d] \big)}\) i powołać się na symetrię, co natychmiast daje tę drugą inkluzję.

Autorzy tekstu który cytujesz wybrali (ii), co również w moim odczuciu jest rozwiązaniem najelegantszym, ale ostatecznie jest to tylko kwestia gustu.

[Jan Kraszewski]

Skoro zatem zbiór rozwiązań drugiego układu mógłby być obszerniejszy niż pierwszego po jednokrotnym wykonaniu operacji elementarnej, tak jak to widać na diagramie Venna, to nadal nie wiadomo na jakiej podstawie dopuszcza się taką możliwość.

Diagram Venna czy nie, to nie ma znaczenia. Uzasadniając zawieranie nie muszę interesować się, czy jest ono właściwe czy nie.

JK

PS
Nawiasem mówiąc, prawdopodobnie nadinterpretujesz diagramy Venna - obszary występujące w tych diagramach mogą opisywać zbiory puste. Zatem argument "jak to widać na diagramie Venna" nie jest żadnym argumentem.

[Dasio11]

Poza tym inkluzji używa się chyba wtedy gdy z jednej strony ma się pewność, że pierwszy zbiór zawarty jest w drugim, z drugiej strony dopuszcza się możliwość, że drugi zbiór mógłby być obszerniejszy. Prawda? Nie bardzo rozumiem na jakiej podstawie w tym przypadku dopuszcza się taką możliwość. Ktoś, kto dopuszcza jakąś możliwość powinien umieć podać konkretny przykład takiej możliwości.
To bardzo dziwna sytuacja, gdy ktoś stwierdza , że \(\displaystyle{ x }\) mogłoby być większe niż \(\displaystyle{ y}\), ale nie potrafi podać przykładu.

Stwierdzenie inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) to nic innego jak stwierdzenie, że każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest elementem zbioru \(\displaystyle{ B}\). W szczególności: stwierdzanie inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) nie ma nic wspólnego z orzekaniem, czy możliwe jest, aby istniał element \(\displaystyle{ B}\) niebędący elementem \(\displaystyle{ A}\).

Inaczej mówiąc: owo "dopuszczanie" możliwości, że drugi zbiór jest obszerniejszy niż pierwszy, polega na nietwierdzeniu, że jest to niemożliwe, Twój zaś postulat o konieczności podania przykładu pasowałby wyłącznie do twierdzenia, że jest to możliwe. Oczywiście ktoś, kto nie twierdzi, że możliwe jest, iż \(\displaystyle{ B}\) jest obszerniejszy niż \(\displaystyle{ A}\) (ani też że jest to niemożliwe), nie może być zobowiązany do podawania przykładu, w którym \(\displaystyle{ B}\) jest obszerniejszy niż \(\displaystyle{ A}\).

Twoja postawa przypomina sytuację, w której ktoś stwierdziłby, że w Stanach Zjednoczonych ludzie na ogół posługują się językiem angielskim, a Ty zarzuciłbyś tej osobie, że mówiąc to dopuściła możliwość, iż w Wielkiej Brytanii na ogół ludzie posługują się językiem innym niż angielski, i domagałbyś się uzasadnienia.

[pasjonat_matematyki]

Skoro zatem zbiór rozwiązań drugiego układu mógłby być obszerniejszy niż pierwszego po jednokrotnym wykonaniu operacji elementarnej, tak jak to widać na diagramie Venna, to nadal nie wiadomo na jakiej podstawie dopuszcza się taką możliwość.

Diagram Venna czy nie, to nie ma znaczenia. Uzasadniając zawieranie nie muszę interesować się, czy jest ono właściwe czy nie.
JK
PS
Nawiasem mówiąc, prawdopodobnie nadinterpretujesz diagramy Venna - obszary występujące w tych diagramach mogą opisywać zbiory puste. Zatem argument "jak to widać na diagramie Venna" nie jest żadnym argumentem.

Czyli z faktu, że nie umie się podać przypadku, gdy drugi zbiór ma więcej rozwiązań niż pierwszy nie wynika negacja inkluzji. Bo zachodzi ona nawet przy równości obu zbiorów. Zatem jeśli tylko pokaże się tą implikację, która definiuje inkluzję dla obu zbiorów, czyli de facto to co zrobił Dasio na początku, to już wystarcza do ustanowienia inkluzji. Zatem nie jest to kwestia interesowani się tym lub nie. Dlatego właśnie napisałem wcześniej, że nie jest to kwestia naszego widzimisię. Cały czas pytałem o merytoryczne powody, dla których mamy się tym nie interesować.
Całą dyskusja mogłaby wyglądać tak:
-Skoro dopuszczasz możliwość, że drugi zbiór ma więcej rozwiązań niż pierwszy to podaj przykład.
-Nie umiem. Ale nie interesuje mnie to, bo nie jest to konieczne dla ustanowienia inkluzji. Jeśli tylko pokażę, że \(\displaystyle{ \forall u}\), \(\displaystyle{ u \in A \Rightarrow u \in B}\), to już mam inkluzję. A przypadki o które pytasz być może istnieją, być może nie. Ale nawet jeśli nie istnieją, to inkluzja tak czy inaczej zachodzi, co pokazałem sprawdzeniem.
Dodam jeszcze, że w uzasadnieniu inkluzji (na początku wątku) zabrakło przytoczenia jej definicji i pokazania, że całą rzecz ostatecznie sprowadza się do implikacji. Tak czy inaczej bardzo dziękuję obu panom. Czuję, że po tej dyskusji jestem już innym człowiekiem.

[Jan Kraszewski]

Całą dyskusja mogłaby wyglądać tak:
-Skoro dopuszczasz możliwość, że drugi zbiór ma więcej rozwiązań niż pierwszy to podaj przykład.
-Nie umiem. Ale nie interesuje mnie to, bo nie jest to konieczne dla ustanowienia inkluzji. Jeśli tylko pokażę, że \(\displaystyle{ \forall u}\), \(\displaystyle{ u \in A \Rightarrow u \in B}\), to już mam inkluzję. A przypadki o które pytasz być może istnieją, być może nie. Ale nawet jeśli nie istnieją, to inkluzja tak czy inaczej zachodzi, co pokazałem sprawdzeniem.

Zgadza się.

Dodam jeszcze, że w uzasadnieniu inkluzji (na początku wątku) zabrakło przytoczenia jej definicji i pokazania, że całą rzecz ostatecznie sprowadza się do implikacji.

To, czego Ci brakowało, jest wiedzą poznawaną na Wstępie do matematyki i zupełnie naturalne jest, że autor dowodów z algebry liniowej zakłada znajomość tego pojęcia u czytelnika. To sprawiło Ci trudność, ale nie możesz niestety oczekiwać, że w każdym rozumowaniu wszystko będzie wyjaśnione do najbardziej elementarnego poziomu - w zasadzie zawsze zakładamy, że czytelnik ma jakieś podstawy.

JK