Wykazanie że zbiór liczb takiej postaci tworzy zbiór Q

[kwdrt4000]

Dzień dobry,

Próbuję dłuższy czas już "ugryźć" zadanie o treści:

"Wykaż, że zbiór liczb postaci \(\displaystyle{ \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}+e\sqrt{12}, a,b,c,d,e \in \mathbb{Q}\} }\) tworzy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb wymiernych. Znajdź bazę tej przestrzeni."

Dziękuję za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Pokaż, że taki zbiór jest zamknięty na dodawanie wektorów i na mnożenie przez skalar wymierny.

JK

[kwdrt4000]

Jest na pewno zamkniętym na dodawanie bo dla dow \(\displaystyle{ a_1, ..., e_1}\) i \(\displaystyle{ a_2, ..., e_2}\) suma dwóch liczb takiej postaci da nam liczbę postaci \(\displaystyle{ (a_1+a_2)+...+(e_1+e_2)\sqrt{12} }\).
Z mnożeniem zawsze pozostanie liczba tej samej postaci, bo niezależnie od skalara wymiernego otrzymana liczba też należy do tego zbioru.

Wystarczy pokazać że zbiór tych tworzy przestrzeń wektorową z tych dwóch warunków, a baza będzie \(\displaystyle{ DimV = 5}\) i składała się z wektorów:

\(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, 0), (0, \sqrt{2}, 0, 0, 0), (0, 0, \sqrt{3}, 0, 0), (0, 0, 0, \sqrt{6}, 0), (0, 0, 0, 0, \sqrt{12}) }\)

Czy to jest teraz poprawne rozumowanie?

[Janusz Tracz]

a baza będzie DimV = 5

A sprawdziłeś to? Czyli czy upewniłeś się że istotnie wektory bazy są liniowo niezależne?

składała się z wektorów: \(\displaystyle{ (1,0,0,0,0)...}\)

Wektorami tej przestrzeni są liczby a nie wektory liczbowe z \(\displaystyle{ \RR^5}\). Więc jak już baza składa się z liczb.

[kwdrt4000]

Tak, rozpisałem sobie na kartce - żeby kombinacja linowa wektorów bazy dała 0 to skalary przy każdym z nich muszą być równe 0 więc są liniowo niezależne.

Dziękuję za drugą uwagę, rzeczywiście tak jest.

[Janusz Tracz]

Ale baza w której jest jednocześnie \(\displaystyle{ \sqrt{3} }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) to nie baza bo \(\displaystyle{ \sqrt{12}=2 \sqrt{3} }\) więc wektory \(\displaystyle{ \sqrt{3} }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) okazują się liniowo zależne.