Witam,
Potrzebuję pomocy z pewnym zadaniem. Na podstawie wyników pomiarów miałem przybliżyć szukaną funkcję wielomianem w bazie wielomianów ortogonalnych. Funkcja to \(\displaystyle{ F(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2} x^{2} }\). Korzystając z metody Grama-Schmidta otrzymałem wielomian:
\(\displaystyle{ -2,03386 + 0,4128x + 1,4336 x^{2} }\)
I teraz dochodzi druga część zadania, z którą mam problem. Mam wyznaczyć rzut ortogonalny otrzymanego wielomianu na podprzestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 1. Nie mam pojęcia jak zabrać się za to zadanie, czy mógłby ktoś nakierować jakie kroki należy podjąć?
Wyznaczenie rzutu ortogonalnego
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wyznaczenie rzutu ortogonalnego
Sposób 1
Przyjmujemy iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ f(x)\cdot g(x) = \int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) dx }\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{C}([0,1]). }\)
Uwzględniamy bazę wielomianów stopnia co najwyżej jeden:
\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ 1, x \} }\)
Dokonujemy ortonormalizacji Gramma-Schmidta tej bazy:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{v} = \{ ...\} }\)
Korzystamy ze wzoru na rzut ortogonalny:
\(\displaystyle{ P_{v}(F) = ... }\)
viewtopic.php?t=330343
Sposób 2
Rozwiązujemy układ równań złożony z iloczynów skalarnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 \cdot [F(x) -( ax +b)] = 0 \\ x \cdot [ F(x) - (ax +b)] =0 \end{cases} }\)
Sposób 3
Rozwiązujemy zadanie optymalizacyjne:
\(\displaystyle{ f(a,b) = \parallel F(x) - (ax +b)\parallel = \int_{0}^{1}[F(x) - (ax +b)]dx \rightarrow min. }\)
dla punktów stacjonarnych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f'_{|a}(a, b) = 0 \\ f'_{|b} (a, b) = 0 \end{cases}. }\)
Przyjmujemy iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ f(x)\cdot g(x) = \int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) dx }\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{C}([0,1]). }\)
Uwzględniamy bazę wielomianów stopnia co najwyżej jeden:
\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ 1, x \} }\)
Dokonujemy ortonormalizacji Gramma-Schmidta tej bazy:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{v} = \{ ...\} }\)
Korzystamy ze wzoru na rzut ortogonalny:
\(\displaystyle{ P_{v}(F) = ... }\)
viewtopic.php?t=330343
Sposób 2
Rozwiązujemy układ równań złożony z iloczynów skalarnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 \cdot [F(x) -( ax +b)] = 0 \\ x \cdot [ F(x) - (ax +b)] =0 \end{cases} }\)
Sposób 3
Rozwiązujemy zadanie optymalizacyjne:
\(\displaystyle{ f(a,b) = \parallel F(x) - (ax +b)\parallel = \int_{0}^{1}[F(x) - (ax +b)]dx \rightarrow min. }\)
dla punktów stacjonarnych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f'_{|a}(a, b) = 0 \\ f'_{|b} (a, b) = 0 \end{cases}. }\)