Dwie płaszczyzny określone są za pomocą wektorów do nich ortogonalnych \(\displaystyle{ \vec{n} }\) oraz \(\displaystyle{ \vec{m} }\) o których wiadomo, że nie są równoległe. Odległości tych płaszczyzn od początku układu współrzędnych wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz \(\displaystyle{ \mu}\). Znajdź w postaci parametrycznej równanie prostej będącej przecięciem tych płaszczyzn.
Będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie. Jeśli ktoś chce mi dać wskazówkę też, ale żeby przyniosła pożytek musi być raczej mocna, nie wiem jak się za to zabrać ani czego użyć
Przecięcie płaszczyzn odległych od P0 o dane wartości
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Przecięcie płaszczyzn odległych od P0 o dane wartości
Równania normalne płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \pi_{1}: \ \ \frac{\vec{n}\cdot (x, y, z)}{|\vec{n}|} = \lambda }\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}: \ \ \frac{\vec{m}\cdot (x, y, z)}{|\vec{m}|} = \mu }\)
lub w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ \pi_{1}: \ \ \vec{r} \cdot \vec{n}_{0} = \lambda }\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}: \ \ \vec{r}\cdot \vec{m}_{0} = \mu }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \vec{n}_{0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}, \ \ \vec{m}_{0} = \frac{\vec{m}}{|\vec{m}|}.}\)
Prostą widać jako punkt przecięcia tych płaszczyzn (rysunek).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{n}_{0}\times \vec{m}_{0} }\) jest prostopadły do płaszczyzny rysunku, a więc jest równoległy do szukanej prostej.
Równaniem prostej będzie więc \(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = \vec{b}.}\)
Nie znamy \(\displaystyle{ \vec{b}. }\)
Gdybyśmy znali punkt na prostej, wtedy można by obliczyć \(\displaystyle{ \vec{b}}\).
Szukanie takiego punktu nie jest jednak konieczne. Wykonajmy bowiem podwójny iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ r \times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = (\vec{r}\cdot \vec{m}_{0})\cdot \vec{n}_{0} - (\vec{r}\cdot \vec{n}_{0}) \cdot \vec{m}_{0} }\)
Pozwala nam to obliczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{b} }\)
\(\displaystyle{ r \times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = (\vec{r}\cdot \vec{m}_{0})\cdot \vec{n}_{0} - (\vec{r}\cdot \vec{n}_{0}) \cdot \vec{m}_{0} = \mu \vec{n}_{0} - \lambda \vec{m}_{0}. }\)
Stąd równanie szukanej prostej
\(\displaystyle{ \vec{r} \times ( \vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0} ) =\mu \vec{n}_{0} - \lambda \vec{m}_{0}. }\)
\(\displaystyle{ \pi_{1}: \ \ \frac{\vec{n}\cdot (x, y, z)}{|\vec{n}|} = \lambda }\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}: \ \ \frac{\vec{m}\cdot (x, y, z)}{|\vec{m}|} = \mu }\)
lub w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ \pi_{1}: \ \ \vec{r} \cdot \vec{n}_{0} = \lambda }\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}: \ \ \vec{r}\cdot \vec{m}_{0} = \mu }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \vec{n}_{0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}, \ \ \vec{m}_{0} = \frac{\vec{m}}{|\vec{m}|}.}\)
Prostą widać jako punkt przecięcia tych płaszczyzn (rysunek).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{n}_{0}\times \vec{m}_{0} }\) jest prostopadły do płaszczyzny rysunku, a więc jest równoległy do szukanej prostej.
Równaniem prostej będzie więc \(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = \vec{b}.}\)
Nie znamy \(\displaystyle{ \vec{b}. }\)
Gdybyśmy znali punkt na prostej, wtedy można by obliczyć \(\displaystyle{ \vec{b}}\).
Szukanie takiego punktu nie jest jednak konieczne. Wykonajmy bowiem podwójny iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ r \times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = (\vec{r}\cdot \vec{m}_{0})\cdot \vec{n}_{0} - (\vec{r}\cdot \vec{n}_{0}) \cdot \vec{m}_{0} }\)
Pozwala nam to obliczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{b} }\)
\(\displaystyle{ r \times (\vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0}) = (\vec{r}\cdot \vec{m}_{0})\cdot \vec{n}_{0} - (\vec{r}\cdot \vec{n}_{0}) \cdot \vec{m}_{0} = \mu \vec{n}_{0} - \lambda \vec{m}_{0}. }\)
Stąd równanie szukanej prostej
\(\displaystyle{ \vec{r} \times ( \vec{n}_{0} \times \vec{m}_{0} ) =\mu \vec{n}_{0} - \lambda \vec{m}_{0}. }\)