Witam wszystkich. Mam pewien problem, otóż wyznacznik macierzy zapisanej poniżej. Pierwszy wiersz to kolejne potęgi wyrażenia \(\displaystyle{ h^2}\) począwszy od zerowej. Następnie, wyraz w kolejnym wierszu jest pochodną odpowiedniego wyrazu z wiersza wyżej. Dla przykładu pod \(\displaystyle{ h^2}\) mamy \(\displaystyle{ 2h}\), następnie będzie \(\displaystyle{ 2}\), a potem \(\displaystyle{ 0}\).
$$
\mathbf{X} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & h^{2} & h^{4} \ldots \\
0 & 2h & 3h^{3} \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right|
$$
Czy macie może jakiś pomysł, co można powiedzieć o tym wyznaczniku dla \(\displaystyle{ h \neq 0}\)? Czy jest on zawsze niezerowy dla macierzy dowolnego rozmiaru?
Jak go badać? Czy ma on jakieś szczególne własności?
Będę wdzięczny za każdą wskazówkę.
Wyznacznik macierzy
-
szw1710
Re: Wyznacznik macierzy
Układ jednomianów \(1,h^2,h^4,\dots\) jest liniowo niezależny. Skojarz to wszystko z układami Czebyszewa i wyznacznikiem Wrońskiego. Potrzebną teorię znajdziesz np. w monografii Karlin, Studden, Tchebycheff systems.