Punkty \(\displaystyle{ A(-1,2,-3) B(4,-4,5)}\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD o polu równym 6. Bok AD jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{u} = [3,-2,4]}\). Pierwsza współrzędna punktu \(\displaystyle{ D(x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Które z równości są prawdziwe:
\(\displaystyle{ x_{0}+y_{0}+z_{0}=1 }\)
\(\displaystyle{ y_{0}=2x_{0} }\)
\(\displaystyle{ x_{0}=2z_{0} }\)
\(\displaystyle{ y_{0}+z_{0}=0 }\)
Mógłby ktoś podsunąć pomysł jak zrobić to zadanie? Próbowałem coś zrobić z tej równoległości i z pola równoległoboku \(\displaystyle{ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}\) ale mało co mi wychodzi.
Przestrzeń R3
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Przestrzeń R3
Prosta zawierająca bok \(\displaystyle{ AD}\) tego równoległoboku ma równanie parametryczne \(\displaystyle{ X=\left(\begin{array}{ccc}-1\\2\\-3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccc}3\\-2\\4\end{array}\right)}\) i możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ \vec{AD}=t\left(\begin{array}{ccc}3\\-2\\4\end{array}\right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \RR}\). Pole rzeczonego równoległoboku jest równe
\(\displaystyle{ |\vec{AD} \times \vec{AB}|=\left|\left(\begin{array}{ccc}3t\\-2t\\4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}5\\-6\\8\end{array}\right) \right|=\left|\left(\begin{array}{ccc}8t \\ -4t\\-8t\end{array}\right)\right|=\sqrt{144t^{2}}=12|t|}\)
czyli mamy \(\displaystyle{ 12|t|=6\\|t|=\frac{1}{2}\\ t=\frac{1}{2}\vee t=-\frac{1}{2}}\).
Z treści zadania wiemy, że ma być \(\displaystyle{ -1+3t>0}\), zatem odrzucamy \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{2}}\) i pozostaje \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\).
Zatem punkt \(\displaystyle{ D}\) ma współrzędne
\(\displaystyle{ x_{0}=-1+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{1}{2}, \ y_{0}=2+\frac{1}{2}\cdot (-2)=1, \ z_{0}=-3+\frac{1}{2}\cdot 4=-1}\).
Czyli prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ y_{0}=2x_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ y_{0}+z_{0}=0}\), a dwie pozostałe, o które pytano są fałszywe.
Zapewne nie jest to najprostsze rozwiązanie…
\(\displaystyle{ \vec{AD}=t\left(\begin{array}{ccc}3\\-2\\4\end{array}\right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \RR}\). Pole rzeczonego równoległoboku jest równe
\(\displaystyle{ |\vec{AD} \times \vec{AB}|=\left|\left(\begin{array}{ccc}3t\\-2t\\4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}5\\-6\\8\end{array}\right) \right|=\left|\left(\begin{array}{ccc}8t \\ -4t\\-8t\end{array}\right)\right|=\sqrt{144t^{2}}=12|t|}\)
czyli mamy \(\displaystyle{ 12|t|=6\\|t|=\frac{1}{2}\\ t=\frac{1}{2}\vee t=-\frac{1}{2}}\).
Z treści zadania wiemy, że ma być \(\displaystyle{ -1+3t>0}\), zatem odrzucamy \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{2}}\) i pozostaje \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\).
Zatem punkt \(\displaystyle{ D}\) ma współrzędne
\(\displaystyle{ x_{0}=-1+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{1}{2}, \ y_{0}=2+\frac{1}{2}\cdot (-2)=1, \ z_{0}=-3+\frac{1}{2}\cdot 4=-1}\).
Czyli prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ y_{0}=2x_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ y_{0}+z_{0}=0}\), a dwie pozostałe, o które pytano są fałszywe.
Zapewne nie jest to najprostsze rozwiązanie…
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Przestrzeń R3
\(\displaystyle{ \vec{AD} = [x_{0}+1, \ \ y_{0} -2, \ \ z_{0} +3] }\)
\(\displaystyle{ \vec{AD} \parallel \vec{u} \leftrightarrow \begin{cases} x_{0}+1 = 3t \\ y_{0}- 2 = -2t \\ z_{0} +3 = 4t \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \vec{BA} = [ 5, -6, 8] }\)
\(\displaystyle{ P = \left | \left | \begin{matrix} 3t & -2t & 4t \\ 5 & -6 & 8 \end{matrix} \right|\right | = \sqrt{ (8t)^2 + (-4t)^2 + (-8t)^2} = \sqrt{144t^2}= 6, }\)
\(\displaystyle{ 12t = 6, \ \ t = \frac{1}{2},}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0} = 3\cdot \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2} \\ y_{0} = -2\cdot \frac{1}{2} + 2 = 1 \\ z_{0} = 4\cdot \frac{1}{2} -3 = -1 \end{cases}. }\)
\(\displaystyle{ y_{0} = 1 = 2\cdot \frac{1}{2} = 2x_{0}, }\)
\(\displaystyle{ y_{0} + z_{0} = 1 +(-1) = 1 -1 = 0. }\)
Odpowiedź: prawdziwa jest równość druga i czwarta.
\(\displaystyle{ \vec{AD} \parallel \vec{u} \leftrightarrow \begin{cases} x_{0}+1 = 3t \\ y_{0}- 2 = -2t \\ z_{0} +3 = 4t \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \vec{BA} = [ 5, -6, 8] }\)
\(\displaystyle{ P = \left | \left | \begin{matrix} 3t & -2t & 4t \\ 5 & -6 & 8 \end{matrix} \right|\right | = \sqrt{ (8t)^2 + (-4t)^2 + (-8t)^2} = \sqrt{144t^2}= 6, }\)
\(\displaystyle{ 12t = 6, \ \ t = \frac{1}{2},}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0} = 3\cdot \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2} \\ y_{0} = -2\cdot \frac{1}{2} + 2 = 1 \\ z_{0} = 4\cdot \frac{1}{2} -3 = -1 \end{cases}. }\)
\(\displaystyle{ y_{0} = 1 = 2\cdot \frac{1}{2} = 2x_{0}, }\)
\(\displaystyle{ y_{0} + z_{0} = 1 +(-1) = 1 -1 = 0. }\)
Odpowiedź: prawdziwa jest równość druga i czwarta.