Układy równań z parametrem m

[BarbarBarabasz]

Dzień dobry,

Mam takie zadanie, którego trochę nie rozumiem: " Dla jakich wartości parametru m następujące układy równań jednorodnych mają rozwiązania niezerowe. Po znalezieniu wartości m rozwiązać ten układ. "

Układ równań wygląda tak:
\(\displaystyle{
mx_{1} + x _{2} - x _{3} = 0
}\)
\(\displaystyle{
2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0
}\)
\(\displaystyle{
mx _{1} + 2x _{2} - 2x _{3} = 0
}\)

Z powyższych danych róbie macierz która wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
m & 1 & - 1 \\
2 & 3 & 1 & \\
m & 2 &-2 \\
\end{array}\right]}\)

Stosuje do tego metodę Cramera, i wyznaczam wyznacznik główny.
Wychodzi mi m = \(\displaystyle{ \frac{4}{9} }\), zatem wyznaczik m musi być różny, od tej liczb.
A co z dalszą częścią zadania, próbując zrobić je metodą Cramera, macierz zawsze zostanie wyzerowana.

[kerajs]

A mi wyznacznik z tej macierzy wychodzi \(\displaystyle{ -4m}\). Dla każdego m róznego od zera układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono rozwiązaniem zerowym (co było oczywiste gdyż układ jest jednorodny).
Dla \(\displaystyle{ m=0}\) masz:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} - x _{3} = 0 \\ 2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0 \\ 2 x _{2} - 2x _{3} = 0 \end{cases} }\)
Równanie pierwsze i trzecie się dublują więc jedno można wyrzucić, co daje
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} - x _{3} = 0 \\ 2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0 \end{cases} }\)
Potraktuj \(\displaystyle{ x_1}\) jako parametr i rozwiąż ten układ.

[BarbarBarabasz]

A mi wyznacznik z tej macierzy wychodzi \(\displaystyle{ -4m}\). Dla każdego m róznego od zera układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono rozwiązaniem zerowym (co było oczywiste gdyż układ jest jednorodny).
Dla \(\displaystyle{ m=0}\) masz:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} - x _{3} = 0 \\ 2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0 \\ 2 x _{2} - 2x _{3} = 0 \end{cases} }\)
Równanie pierwsze i trzecie się dublują więc jedno można wyrzucić, co daje
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} - x _{3} = 0 \\ 2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0 \end{cases} }\)
Potraktuj \(\displaystyle{ x_1}\) jako parametr i rozwiąż ten układ.

Faktycznie, mój błąd rachunkowy.

\(\displaystyle{
2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0
}\)

Równanie wyżej porządkuje, i wychodzi mi:
\(\displaystyle{


x _{1} = - \frac{3}{2}x _{2} - x _{3}
}\)
Czy tak samo jak \(\displaystyle{ x_{1} }\) trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{2} }\) i \(\displaystyle{ x _{3} ? }\)

[kerajs]

Nie.
Ponieważ tutaj rząd macierzy (równy 2) jest mniejszy od ilości niewiadomych (3) to jedną z niewiadomych (bo 3-2=1) traktuję jak parametr (zwykle tę która nie uczestniczyła w liczeniu rzędu (choć akurat tutaj rząd nie był liczony)) .
Tu parametrem może być każda niewiadoma. Wezmę trzecią:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} - x _{3} = 0 \\ 2x _{1} + 3x _{2} +x _{3} = 0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} = x _{3} \\ 2x _{1} + 3x _{2} =-x _{3} \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} = x _{3} \\ x _{1} =-2x _{3} \end{cases} }\)

PS
Przepraszam, że odpowiadam dopiero teraz, ale ostatnio tutaj nie bywałem.