Problem z równaniem macierzowym

[Kooneer]

Cześć, mam problem z następującym zadaniem:
Rozwiąż równanie macierzowe \(\displaystyle{ A ^{\top} X = B}\), gdzie:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} -1&1\\1&0\\0&1\end{bmatrix} \\[1ex]
B = \begin{bmatrix} 3&0&3\\-3&3&-3\end{bmatrix}}\)

No więc najpierw myślałem, żeby sprowadzić to do postaci:
\(\displaystyle{ X = B \cdot (A^{\top})^{-1} \cdot A^{-1}}\)

Ale nie istnieje wyznacznik z \(\displaystyle{ A^{\top}}\), więc nie mogę policzyć \(\displaystyle{ (A^{\top})^{-1}}\), tak?
No więc zapisałem macierz \(\displaystyle{ A^{\top}}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}\)
którą pomnożyłem przez macierz \(\displaystyle{ A}\) (wynik oznaczyłem jako nową macierz \(\displaystyle{ C}\))
\(\displaystyle{ C = \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2\end{bmatrix}}\)

Więc teraz miałem równanie które wygląda tak:
\(\displaystyle{ CX = B}\)
Zapisałem je w taki sposób:
\(\displaystyle{ X = B \cdot C^{-1}}\)
Tylko, że \(\displaystyle{ C^{-1}}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} &\frac{2}{5}\end{bmatrix}}\)

Więc skoro liczba kolumn macierzy \(\displaystyle{ B}\) nie jest równa liczbie wierszy macierzy \(\displaystyle{ C^{-1}}\) to nie da się tego pomnożyć.
Gdzie popełniłem błąd?

[a4karo]

Mnożąc przez macierz \(A)\).

Zastanów się jaki rozmiar musi mieć szukana macierz.

[Kooneer]

@a4karo

Dzięki tobie zauważyłem, że zamiast równania \(\displaystyle{ A^{T}X=B }\) powinno być \(\displaystyle{ A^{T}AX=B }\).
Wydaje mi się, że szukana macierz powinna być rozmiaru 2x3, mam rację?

[a4karo]

Pomyśl jeszcze raz: skoro \(CX=B\) to \(X=???\)

[Kooneer]

To \(\displaystyle{ X =C ^{-1}\cdot B}\) wystarczy zmienić kolejność mnożenia macierzy, tak?

[a4karo]

Nie wystarczy, tylko trzeba

[Kooneer]

Czyli rozwiązanie powinno wyglądać tak?:
\(\displaystyle{ X = C^{-1} \cdot B}\)
\(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} &\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&0&3\\-3&0&-3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} &0&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5} &0&-\frac{3}{5}\end{bmatrix}}\)

[a4karo]

Jeżeli nie pomyliłeś się w rachunkach, to tak

Pomyliłeś się: w drugim wierszu B jest 3 a nie 0

[Kooneer]

Dzięki wielkie za pomoc.
Rozumiem, że skoro kolejność podczas mnożenia macierzy ma znaczenie, to w tego typu zadaniach mam pełną dowolność ustawiania ich kolejności?
Mówię o sytuacji analogicznej do tej wyżej, gdy muszę pozbyć się z jednej strony równania macierzy poprzez mnożenie przez macierz odwrotną.

[a4karo]

Mnożęnie macierzy nie jest przemienne, więc to, z której strony mnożysz, jest istotne

[Kooneer]

Właśnie to wynika z tego co napisałem. Pytanie było inne. Czy mam dowolność ustalania kolejności?

[a4karo]

Mnożenie macierzy jest łączne, jeżeli o to Ci chodzi.

Moesz podać przykład w którym masz wątpliwości?