Pewne subtelności związane z podprzestrzenią liniową

[pasjonat_matematyki]

Witam

Jak wiadomo podprzestrzeń liniowa to dowolny niepusty podzbiór przestrzeni liniowej sam będący przestrzenią liniową. Takie państwo w państwie. Tyle mówi definicja.
Następnie mamy twierdzenie, zgodnie z którym zbiór jest podprzestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy
- suma dowolnych dwóch wektorów z tego zbioru też do niego należy
- iloczyn dowolnego wektora z tego zbioru przez dowolny skalar jakiegoś ciała liczbowego też należy do tego zbioru
Twierdzenie jest równoważnością, zatem dowodzi się je w dwie strony. Gdy założymy, że zbiór jest podprzestrzenią, to łatwo dowieść, że spełnia dwa powyższe warunki. Mam problem z dowodem w drugą stronę. Czyli zakładamy, że mamy dowolny zbiór nie będący przestrzenią liniową i z tych dwóch warunków trzeba pokazać, że taki zbiór ma wszystkie jej cechy. Otóż nie wiem jak tego dokonać. Jak np. pokazać, że działania w tym zbiorze są przemienne? Z założenia wiemy, że suma dowolnych dwóch wektorów należy do zbioru. Podobnie jak suma tych wektorów w odwrotnej kolejności.
Jak pokazać, że te sumy są równe? A jak pokazać łączność, istnienie elementu neutralnego, odwrotnego itd.?
Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Dasio11]

Następnie mamy twierdzenie, zgodnie z którym zbiór jest podprzestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy
- suma dowolnych dwóch wektorów z tego zbioru też do niego należy
- iloczyn dowolnego wektora z tego zbioru przez dowolny skalar jakiegoś ciała liczbowego też należy do tego zbioru

Brakuje trzeciego warunku - że podzbiór jest niepusty lub że \(\displaystyle{ 0}\) jest jego elementem (łatwo sprawdzić, że te warunki są równoważne przy założeniu dwóch poprzednich).

Jak np. pokazać, że działania w tym zbiorze są przemienne? Z założenia wiemy, że suma dowolnych dwóch wektorów należy do zbioru. Podobnie jak suma tych wektorów w odwrotnej kolejności.
Jak pokazać, że te sumy są równe? A jak pokazać łączność, istnienie elementu neutralnego, odwrotnego itd.?

Mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ (W, +, \cdot_{\alpha})_{\alpha \in K}}\) i jej podzbiór \(\displaystyle{ V \subseteq W}\) spełniający podane wyżej warunki. Jest do sprawdzenia, że \(\displaystyle{ (V, \oplus, \odot_{\alpha})_{\alpha \in K}}\) jest przestrzenią liniową, gdzie działania \(\displaystyle{ \oplus, \odot_{\alpha}}\) powstają przez obcięcie \(\displaystyle{ +, \cdot_{\alpha}}\) do \(\displaystyle{ V}\). Z założenia wiemy, że są to działania wewnętrzne.

Na przykład: niech \(\displaystyle{ x, y \in V}\). Wtedy

\(\displaystyle{ x \oplus y = x + y = y + x = y \oplus x}\),

gdzie pierwsza i trzecia równość wynikają z definicji \(\displaystyle{ \oplus}\), a druga wynika z faktu, że \(\displaystyle{ W}\) jest przestrzenią liniową (a zatem dodawanie jest przemienne).

Dalej: sprawdzimy, że element \(\displaystyle{ 0 \in W}\) neutralny dla \(\displaystyle{ +}\) (istniejący dlatego, że \(\displaystyle{ W}\) jest przestrzenią liniową) jest też elementem neutralnym \(\displaystyle{ \oplus}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ 0 \in V}\). Ustalmy więc dowolne \(\displaystyle{ x \in V}\). Wtedy

\(\displaystyle{ x \oplus 0 = x + 0 = x}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \oplus x = 0 + x = x}\),

przy czym korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem neutralnym \(\displaystyle{ +}\).

Element odwrotny: ustalmy \(\displaystyle{ x \in V}\). Wtedy w \(\displaystyle{ W}\) istnieje element \(\displaystyle{ y = -x}\) odwrotny do \(\displaystyle{ x}\) względem \(\displaystyle{ +}\). Z założenia \(\displaystyle{ y \in V}\), bo \(\displaystyle{ y = (-1) \cdot x}\), więc wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ y}\) jest odwrotny do \(\displaystyle{ x}\) względem \(\displaystyle{ \oplus}\). Ale

\(\displaystyle{ x \oplus y = x + y = 0}\) oraz \(\displaystyle{ y \oplus x = y + x = 0}\),

czyli tak, jak chcemy.

Wszystkie inne aksjomaty sprawdza się analogicznie.

[pasjonat_matematyki]

Przy czym zakładamy, że \(\displaystyle{ V}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ W}\), a nie jakimkolwiek zbiorem wektorów spełniających te dwa warunki, bo inaczej nie byłoby wiadomo np. co oznacza mnożenie i dodawanie w tych warunkach, zgadza się?

Poza tym. Czy mam rację, że na przykład przemienność dodawania dziedziczy dowolny podzbiór (niekoniecznie będący podprzestrzenią) danej przestrzeni liniowej? Bo np. fakt, że dwa elementy przestrzeni liniowej znajdą się w jakimś jej podzbiorze nic nie zmienia w kwestii przemienności ich dodawania. A skoro tak, to dowód wystarczy przeprowadzić w stosunku do tych warunków, które nie są dziedziczone przez dowolny podzbiór. Które to są warunki? Ja bym powiedział, że łączność, element neutralny i odwrotny też dziedziczy dowolny podzbiór. Prawda?

[matmatmm]

Przy czym zakładamy, że \(\displaystyle{ V}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ W}\), a nie jakimkolwiek zbiorem wektorów spełniających te dwa warunki, bo inaczej nie byłoby wiadomo np. co oznacza mnożenie i dodawanie w tych warunkach, zgadza się?

Tak.

Poza tym. Czy mam rację, że na przykład przemienność dodawania dziedziczy dowolny podzbiór (niekoniecznie będący podprzestrzenią) danej przestrzeni liniowej? Bo np. fakt, że dwa elementy przestrzeni liniowej znajdą się w jakimś jej podzbiorze nic nie zmienia w kwestii przemienności ich dodawania.

Ja bym powiedział, że nie jest tak do końca, gdyż w definicji przemienności zazwyczaj wymaga się także, żeby działanie było wewnętrzne. A na przykład w definicji łączności warunek, że działanie jest wewnętrzne, jest już nieodzowny (inaczej sformułowanie nie ma sensu). Co za tym idzie, tylko podzbiory zamknięte na działanie dziedziczą łączność.

[pasjonat_matematyki]

Czyli można powiedzieć, że te dwa warunki dla podprzestrzeni to jednie zapewnienie wewnętrzności działań? Innymi słowy: Dowolny podzbiór przestrzeni liniowej z wewnętrznymi działaniami sam jest przestrzenią liniową? Zatem np. przemienności nie wyprowadza się rachunkowo z tych dwóch warunków. Czyli to co zrobił Dasio. On zauważył jedynie, że dodawanie dwóch elementów w podzbiorze jest tym samym dodawaniem co w całej przestrzeni, a w całej przestrzeni jest ono przemienne, zatem w podzbiorze też. Z samym dwóch warunków rachunkowo niczego nie wyprowadzał, bo są one jedynie zapewnieniem wewnętrzności działań. Rachunkowo można by wyprowadzić z tych dwóch warunków co najwyżej, że zero należy do tego podzbioru? Bo nie każdy podzbiór musi mieć zero. Zgadza się?

[Dasio11]

Zgadza się, z wyjątkiem tego:

Rachunkowo można by wyprowadzić z tych dwóch warunków co najwyżej, że zero należy do tego podzbioru?

Z tych dwóch warunków nie można wyprowadzić, że zero jest elementem tego podzbioru, dlatego zakłada się to jako trzeci warunek. A nie można z prostego powodu: podzbiór pusty spełnia dwa warunki, a zero nie jest jego elementem.

[pasjonat_matematyki]

Z tych dwóch warunków nie można wyprowadzić, że zero jest elementem tego podzbioru, dlatego zakłada się to jako trzeci warunek. A nie można z prostego powodu: podzbiór pusty spełnia dwa warunki, a zero nie jest jego elementem.

Czym by było zatem coś takiego: Skoro \(\displaystyle{ \forall x, y\in V }\); \(\displaystyle{ \forall a, b\in K }\); \(\displaystyle{ ax+by\in V}\), to \(\displaystyle{ 1v-1v=0\in V}\)

[Jan Kraszewski]

Czym by było zatem coś takiego: Skoro \(\displaystyle{ \forall x, y\in V }\); \(\displaystyle{ \forall a, b\in K }\); \(\displaystyle{ ax+by\in V}\), to \(\displaystyle{ 1v-1v=0\in V}\)

A cóż to jest \(\displaystyle{ v}\) ?

JK

[pasjonat_matematyki]

Czym by było zatem coś takiego: Skoro \(\displaystyle{ \forall x, y\in V }\); \(\displaystyle{ \forall a, b\in K }\); \(\displaystyle{ ax+by\in V}\), to \(\displaystyle{ 1v-1v=0\in V}\)

A cóż to jest \(\displaystyle{ v}\) ?
JK

Wektor z \(\displaystyle{ V.}\) \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ (-1)}\) - skalary z ciała \(\displaystyle{ K}\). Chodzi o to, że na miejsce wektorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) można wstawić ten sam wektor, na miejsca \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) - powyższe skalary i wynika stąd wyprowadzenie zera dla \(\displaystyle{ V}\). Dasio tymczasem twierdzi, że tego nie da się wyprowadzić, tylko trzeba zakładać. Chyba, że to założenie istnienia zera wynika wyłącznie z uwzględnienia przypadku zbioru pustego. Bo jeśli jest niepusty, to istnienie zera można sobie wyprowadzić, jak wyżej, czy tak?

[Dasio11]

Chyba, że to założenie istnienia zera wynika wyłącznie z uwzględnienia przypadku zbioru pustego. Bo jeśli jest niepusty, to istnienie zera można sobie wyprowadzić, jak wyżej, czy tak?

Zgadza się, tak jak pisałem wcześniej:

Brakuje trzeciego warunku - że podzbiór jest niepusty lub że \(\displaystyle{ 0}\) jest jego elementem (łatwo sprawdzić, że te warunki są równoważne przy założeniu dwóch poprzednich).