Odwzorowania

[bluee]

Mam jeszcze takie coś:
Zbadać, czy odwzorowanie \(\displaystyle{ f: \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) zdefiniowanie za pomocą wzoru
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(2x-4y+3z,x+z,3x-y+1)}\) jest bijekcją. Jeśli jest, wyprowadzić wzór definiujący odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ f^{-1}}\).
Będzie to suriekcja, funkcja jest logiczna dla dowolnego x,y,z.
Będzie to iniekcja, ponieważ nie istnieją dwa identyczne rozwiązania.
Więc będzie to bijekcja.
Czy odwzorowanie odwrotne będzie miało postać:
\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z)=(-2x+4y-3z,-x-z,-3x+y-1)}\) ??

[a4karo]

W definicji wzoru czegoś brak. Zgaduję, że powinno być \(f(x,y,x)=...\).
Żadnej z odpowiedzi nie uzasadniłeś.
Z faktu, że wyrażenie ma sens dla wszystkich \(x,y,x\) nie wynika, że odwzorowanie jest "na". Przykład: \(g(x,y,z)=(0,0,0,)\).

Dwa identyczne rozwiązania czego??. Miałeś algebrę liniową? Przypomnij sobie trochę wiadomości o macierzach, o rzędzie macierzy, o rozwiązywaniu układów równań.

Nie, znalezienie odwzorowanie odwrotnego nie polega na dopisaniu minusów.

[bluee]

Nie miałam macierzy. To zadania z przedmiotu Algebra i geometria, I rok studiów Informatyki.
Co odwzorowania odwrotnego to robiłam to tylko na funkcjach dwuargumentowych, czyli wystarczyło z zamienić z y.

[janusz47]

Jeśli nie miała Pani jeszcze podstawowych pojęć Algebry Liniowej takich jak macierz, wyznacznik, wymiar przestrzeni liniowej, jądro przekształcenia liniowego, to proponuję następujący sposób na sprawdzenie czy dane odwzorowanie liniowe jest injekcją i surjekcją czyli bijekcją.

Sprawdzenie, czy odwzorowanie \(\displaystyle{ f }\) jest injekcją ?

\(\displaystyle{ f(x_{1},y_{1},z_{1}) = f(x_{2}, y_{2}, z_{2}) }\)

\(\displaystyle{ 2x_{1} -4x_{1}+3z_{1} = 2x_{2}- 4x_{2}+3z_{2} }\)

\(\displaystyle{ x_{1} + z_{1} = x_{2} + z_{2} }\)

\(\displaystyle{ 3x_{1} -y_{1}+1 = 3x_{2}-y_{2}+1 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2x_{1} -4x_{1}+3z_{1} - 2x_{2} +4x_{2}-3z_{2} =0 }\)

\(\displaystyle{ x_{1} + z_{1} - x_{2} -z_{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ 3x_{1} -y_{1}+1 - 3x_{2}+y_{2}-1 = 0 }\)

\(\displaystyle{ 2(x_{1}- x_{2}) -4( x_{1}-x_{2}) +3(z_{1}- z_{2}) = 0 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ (x_{1}- x_{2}) + (z_{1}- z_{2}) =0 \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ 3(x_{1}- x_{2}) - (y_{1} -y_{2}) = 0 \ \ (3) }\)

Z \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)

\(\displaystyle{ x_{1} = x_{2}, \ \ y_{1} = y_{2}, \ \ z_{1} = z_{2}.}\)

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f }\) jest injekcją.

Sprawdzenie, czy odwzorowanie \(\displaystyle{ f }\) jest surjekcją?

Tworzymy układ równań liniowych

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - 4y +3z = r, \\ x + z = s \\ 3x- y +1 = t \end{cases}\ \ (4) }\)

gdzie \(\displaystyle{ r , s, t }\) należą do obrazu odwzorowania \(\displaystyle{ f }\)

\(\displaystyle{ (r, s, t ) \in Im[ f( x, y, z )] }\)

Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (4) }\) ze względu na \(\displaystyle{ r, s, t, }\) na przykład metodą podstawienia.

Otrzymujemy (proszę sprawdzić)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{1}{13} \left(-r +3s +4t - 4 \right) \\ y = \frac{1}{13} \left(-3r + 9s -t +1 \right) \\ z = \frac{1}{13}\left( r +10s -4t +4 \right) \end{cases} }\)

Powyższy układ jest układem oznaczonym - ma dokładnie jedno rozwiązanie istnieje więc przekształcenie odwrotne

\(\displaystyle{ f^{-1}(x, y, z) = ...}\)

Dodano po 32 minutach 22 sekundach:
\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z) = \left(\frac{1}{13} ( -x +3y -4z -4), \ \ \frac{1}{13}( -3x +9y -z +1), \ \ \frac{1}{13}( x +10y -4z +4) \right).}\)

[bluee]

\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z) = \left(\frac{1}{13} ( -x +3y -4z -4), \ \ \frac{1}{13}( -3x +9y -z +1), \ \ \frac{1}{13}( x +10y -4z +4) \right).}\)

Czy obliczając funkcję przeciwną zamieniałeś kolejno x na r, y na t i z na s?

[janusz47]

Odwrotnie \(\displaystyle{ r }\) na \(\displaystyle{ x, \ \ s }\) na \(\displaystyle{ y, \ \ t }\) na \(\displaystyle{ z. }\)