Odwzorowania

[bluee]

Zbadać, czy odwzorowanie:
A). \(\displaystyle{ f: \RR \ni x \mapsto (e^{x}+1,x^{3}-x) \in \RR^{2} }\)
jest in-, sur- lub bijekcją.
Pochorowałam się i nie było mnie na wykładzie, więc będę wdzięczna za wszelkie wskazówki.

[Jan Kraszewski]

Pierwsza wskazówka: poznaj definicje tych pojęć.

JK

[bluee]

To już mam za sobą.
Suriekcja to funkcja przyjmująca jako wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny.
Iniekcja to funkcja różnowartościowa, czyli dany element przeciwdziedziny jest przyjmowany co najwyżej raz.
Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie suriekcją i iniekcją, czyli każdemu elementowi dziedziny odpowiada jeden element przeciwdziedziny.

Dodano po 7 minutach 41 sekundach:
\(\displaystyle{ e^{x}+1 }\) tą część traktuję jako pierwszą współrzędną, będzie ona przyjmowała tylko dodatnie wartości.
\(\displaystyle{ x^{3} - x }\) tutaj będzie zbiór liczb rzeczywistych, będzie to druga współrzędna ?
Teraz zauważyłam, że popełniłam błąd w zapisie formuły. zamiast 3 jest x.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ e^{x}+1 }\) tą część traktuję jako pierwszą współrzędną, będzie ona przyjmowała tylko dodatnie wartości.

Jaki stąd wniosek?

JK

[janusz47]

Jeśli wykonamy wykres funkcji \(\displaystyle{ f_{1}(x) = e^{x} +1 }\) - funkcja exponent przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [0, 1 ] }\) (o jeden "do góry")
to co zauważymy? Funkcja monotoniczna - rosnąca, przekształcająca zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) na zbiór \(\displaystyle{ ( 1,\ \ +\infty). }\) Jest więc injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) i jest surjekcją (odwzorowaniem "na") czyli bijekcją albo odwzorowaniem bijektywnym.

Funkcja \(\displaystyle{ f_{2}(x) = x^3 - x = x(x^2 -1) = x(x+1)(x -1) }\) jest wielomianem trzeciego stopnia, przyjmującym wartość zero w punktach \(\displaystyle{ -1,\ \ 0,\ \ 1 }\) . Jest to funkcja rosnąco-malejącą. Nie jest więc injekcją (funkcją różnowartościową). Jest odwzorowaniem zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) na zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) czyli surjekcją. Nie jest odwzorowaniem bijektywnym (bijekcją). bo nie jest różnowartościowa.

Stąd wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f (x) = (f_{1}(x), \ \ f_{2}(x)) = ( e^{x} +1, \ \ x^3 -x) }\) jest...

Powyższe własności funkcji można sprawdzić rachunkowo na podstawie ich definicji.

[a4karo]

Co to jest funkcja rosnąco malejąca?

Żeby powiedzieć, że odwzorowanie jest na to najpierw trzeba określić w jakim zbiorze są przyjmowane wartości

[Jan Kraszewski]

Jeśli wykonamy wykres funkcji \(\displaystyle{ f_{1}(x) = e^{x} +1 }\) - funkcja exponent przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [0, 1 ] }\) (o jeden "do góry")
to co zauważymy? Funkcja monotoniczna - rosnąca, przekształcająca zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) na zbiór \(\displaystyle{ ( 1,\ \ +\infty). }\) Jest więc injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) i jest surjekcją (odwzorowaniem "na") czyli bijekcją albo odwzorowaniem bijektywnym.

To akurat nie jest prawda, bo mamy jasno określone, że \(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR}\).

JK

[a4karo]

Jeśli wykonamy wykres funkcji \(\displaystyle{ f_{1}(x) = e^{x} +1 }\) - funkcja exponent przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [0, 1 ] }\) (o jeden "do góry")
to co zauważymy? Funkcja monotoniczna - rosnąca, przekształcająca zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) na zbiór \(\displaystyle{ ( 1,\ \ +\infty). }\) Jest więc injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) i jest surjekcją (odwzorowaniem "na") czyli bijekcją albo odwzorowaniem bijektywnym.

Funkcja \(\displaystyle{ f_{2}(x) = x^3 - x = x(x^2 -1) = x(x+1)(x -1) }\) jest wielomianem trzeciego stopnia, przyjmującym wartość zero w punktach \(\displaystyle{ -1,\ \ 0,\ \ 1 }\) . Jest to funkcja rosnąco-malejącą. Nie jest więc injekcją (funkcją różnowartościową). Jest odwzorowaniem zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) na zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) czyli surjekcją. Nie jest odwzorowaniem bijektywnym (bijekcją). bo nie jest różnowartościowa.

Stąd wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f (x) = (f_{1}(x), \ \ f_{2}(x)) = ( e^{x} +1, \ \ x^3 -x) }\) jest...

Powyższe własności funkcji można sprawdzić rachunkowo na podstawie ich definicji.

Niestety, to "rozwiązanie", jak często u janusza47 nie jest poprawne.
Z faktu, że obie składowe funkcji są bijekcjami nie wynika, że funkcja jest bijekcją.
Przykład: funkcja \(\displaystyle{ g:\RR \ni x\mapsto (x,x)\in\RR^2}\) nie jest "na" chociaż obie składowe są bijekcjami

Również z faktu, że \(f_2\) nie jest różnowartościowa nie wynika, że \(f\) nie jest taka. Funkcja w zadaniu jest różnowartościowa, bu taka jest jej pierwsza składowa. Prosto mówiąc, jeżeli \(\displaystyle{ x\neq y}\), to \(\displaystyle{ f(x)=(e^x+1,x^3-x)\neq (e^y+1,y^3-y)=f(y)}\), bo różnią się pierwszą współrzędną.

[janusz47]

Funkcja \(\displaystyle{ f_{1} = e^{x} + 1 }\) nie przekształca \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \RR. }\)


Do funkcji \(\displaystyle{ f = (f_{1}, f_{2} )}\) nie odniosłem się ...

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ f_{1} = e^{x} + 1 }\) nie przekształca \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \RR. }\)

A powinna, bo z definicji \(\displaystyle{ f:\RR\to \RR^2}\), więc \(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR}\). Ty zaś napisałeś błednie , że \(\displaystyle{ f_1}\) jest bijekcją.

Do funkcji \(\displaystyle{ f = (f_{1}, f_{2} )}\) nie odniosłem się ...

A kto napisał

Stąd wynika, że funkcja
\(\displaystyle{ f
(
x
)
=
(
f_
1
(
x
)
,


f_
2
(
x
)
)
=
(
e^
x
+
1
,


x^
3
−
x
)}\)
jest...

i co miały sugerować te trzy kropki?

[janusz47]

Miały sugerować podanie własności funkcji f o tych składowych.

[bluee]

Czy jako dziedzinę powinnam potraktować zbiór liczb rzeczywistych czy zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (zbiór wartości pierwszej współrzędnej)?
Jeżeli jako dziedzinę traktuję R, to funkcja jest suriekcją, nie jest iniekcją, więc nie jest bijekcją.
Jeżeli jako dziedzinę traktuję R+, to funkcja nie jest suriekcją, nie jest iniekcją, więc nie jest bijekcją.

Dodano po 20 minutach 51 sekundach:

Również z faktu, że \(f_2\) nie jest różnowartościowa nie wynika, że \(f\) nie jest taka. Funkcja w zadaniu jest różnowartościowa, bu taka jest jej pierwsza składowa. Prosto mówiąc, jeżeli \(\displaystyle{ x\neq y}\), to \(\displaystyle{ f(x)=(e^x+1,x^3-x)\neq (e^y+1,y^3-y)=f(y)}\), bo różnią się pierwszą współrzędną.

Mam rozumieć, że nawet jeżeli wartość drugiej współrzędnej będzie kilkukrotnie taka sama, ale wartość pierwszej współrzędnej będzie różna to funkcję traktuję jako iniekcję ?

[a4karo]

Ten zapis
\(\displaystyle{ f: {\color{red}{\RR}}\ni x \mapsto (e^{x}+1,x^{3}-x) \in \color{blue}{\RR^{2}}}\)

oznacza, że dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \color{red}{\RR} }\), a przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \color{blue}{\RR^{2}}}\) i nie masz tu żadnego wyboru.


Obrazem punktu są pary liczb, a dwie pary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy maja różne obie "współrzędne". W szczególności, jeżeli pierwsze elementy par są różne, to pary sa różne.


Ta funkcja nie może być funkcją "na" z prostego powodu: \(f(0)=(2,0)\) i żaden inny punkt postaci \((2,u)\) nie leży w zbiorze wartości tej funkcji.

[bluee]

Obrazem punktu są pary liczb, a dwie pary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy maja różne obie "współrzędne". W szczególności, jeżeli pierwsze elementy par są różne, to pary sa różne.

Czy nie powinno być mają równe obie współrzędne ??

[a4karo]

Jasne że tak