Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

Hej, mam takie zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t\in\RR}\) podprzestrzeń \(\displaystyle{ W = lin\{(1, 2, 1),(2, 5, 3),(1, 3, t)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) daje się opisać jednym niezerowym równaniem. Znaleźć to równanie.

Jeśli ma być jedno równanie, to istnieje takie \(\displaystyle{ t}\), że rząd \(\displaystyle{ W = 1}\). Jednak \(\displaystyle{ W}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) w pozostałych przypadkach. Dla \(\displaystyle{ t = 2}\) układ zatem daje się opisać dwoma niezerowymi równaniami, a nie jednym. Gdzie popełniam błąd?
Ostatnio zmieniony 18 paź 2019, o 18:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Dasio11 »

Filippo9669 pisze: 18 paź 2019, o 17:44Jeśli ma być jedno równanie, to istnieje takie \(\displaystyle{ t}\), że rząd \(\displaystyle{ W = 1}\).
Błąd jest w tym miejscu.
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

Dlaczego?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Dasio11 »

Bo to nieprawda. Jedno niezerowe równanie opisuje w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\).

Nawiasem mówiąc, wyrażenie "rząd \(\displaystyle{ W}\)" jest niepoprawne, bo \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią - sens mają wyrażenia "rząd macierzy" i "wymiar podprzestrzeni", ale nie "rząd podprzestrzeni".
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

To prawda, nie spojrzałem jak pisałem.
Wiem, jedno równanie opisuje płaszczyznę, natomiast ja dostaję dwa równania liniowe, więc prostą. Jak zatem dostać jedno równanie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Jan Kraszewski »

To może napisz równanie, które dostajesz i w jaki sposób.

JK
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

Kombinacja liniowa wektorów:
\(\displaystyle{ a + 2b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ 2a + 5b + 3c =0}\)
\(\displaystyle{ a + 3b + tc = 0 }\)

Z tego dostaję \(\displaystyle{ y = -x}\) i \(\displaystyle{ z = x}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ x = y = z = 0}\) przeciwnie.

Edit: wydaje mi się to głupotą.

\(\displaystyle{ av_{1} + bv_{2}+ cv_{3} = (x, y, z)}\). Nie wiem jaki warunek postawić, aby opis był tylko jednym równaniem.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: janusz47 »

Sprowadzamy macierz złożoną z wierszy \(\displaystyle{ ( 1,2,1), (2,5,3), (1, 3, t) }\) do postaci schodkowej zredukowanej.

\(\displaystyle{ t =... }\)

Macierz złożoną z wierszy ....
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

Tak też robiłem. Jedyne nietrywialne rozwiązanie jest dla t=2.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Dasio11 »

Filippo9669 pisze: 18 paź 2019, o 19:52 Kombinacja liniowa wektorów:
\(\displaystyle{ a + 2b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ 2a + 5b + 3c =0}\)
\(\displaystyle{ a + 3b + tc = 0 }\)
Te równania nie opisują podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\), tylko podprzestrzeń prostopadłą do \(\displaystyle{ W}\).

Wyznaczyć szukane równanie można na dwa sposoby. Pierwszy polega na stwierdzeniu, że

\(\displaystyle{ W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by + cz = 0 \}}\)

dla pewnych liczb rzeczywistych, a następnie podstawieniu pod \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) dwóch wektorów rozpinających \(\displaystyle{ W}\), co pozwoli wyznaczyć szukane \(\displaystyle{ a, b, c}\). Wynik oczywiście nie wyjdzie jednoznaczny, bo jeśli jedno równanie zadaje podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\), to każde równanie proporcjonalne do niego też.

Drugi sposób to obliczyć wektor prostopadły do \(\displaystyle{ W}\) korzystając z iloczynu wektorowego:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}}\).

Wtedy możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ W}\) składa się dokładnie z wektorów prostopadłych do \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}\), czyli równaniem \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ ax + by + cz = 0}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: janusz47 »

Macierz
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)

sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = z \\ y = -z \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x + y = 0 . }\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Dasio11 »

janusz47 pisze: 18 paź 2019, o 21:41\(\displaystyle{ x + y = 0 . }\)
I co to Twoim zdaniem jest?
Filippo9669
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Filippo9669 »

janusz47 pisze: 18 paź 2019, o 21:41
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = z \\ y = -z \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x + y = 0 . }\)
Przechodzisz z opisu prostej do opisu płaszczyzny. W \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) widzę tu problem.
Dasio11 pisze: 18 paź 2019, o 21:33
Wyznaczyć szukane równanie można na dwa sposoby. Pierwszy polega na stwierdzeniu, że

\(\displaystyle{ W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by + cz = 0 \}}\)
Ok, wyszło mi, że ponownie nietrywialne rozwiązania istnieją dla \(\displaystyle{ t = 2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = c \\ b = -c \\ c∈\RR \end{cases} }\).
Dostaję wtedy całą rodzinę rozwiązań, ze szczególnym np. \(\displaystyle{ x - y + c = 0}\) dla \(\displaystyle{ c = 1}\).
Ostatnio zmieniony 20 paź 2019, o 17:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem

Post autor: Dasio11 »

Filippo9669 pisze: 20 paź 2019, o 16:44Dostaję wtedy całą rodzinę rozwiązań, ze szczególnym np. \(\displaystyle{ x - y + c = 0}\) dla \(\displaystyle{ c = 1}\).
Raczej \(\displaystyle{ x - y + z = 0}\), reszta OK.
ODPOWIEDZ