Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Hej, mam takie zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t\in\RR}\) podprzestrzeń \(\displaystyle{ W = lin\{(1, 2, 1),(2, 5, 3),(1, 3, t)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) daje się opisać jednym niezerowym równaniem. Znaleźć to równanie.
Jeśli ma być jedno równanie, to istnieje takie \(\displaystyle{ t}\), że rząd \(\displaystyle{ W = 1}\). Jednak \(\displaystyle{ W}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) w pozostałych przypadkach. Dla \(\displaystyle{ t = 2}\) układ zatem daje się opisać dwoma niezerowymi równaniami, a nie jednym. Gdzie popełniam błąd?
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t\in\RR}\) podprzestrzeń \(\displaystyle{ W = lin\{(1, 2, 1),(2, 5, 3),(1, 3, t)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) daje się opisać jednym niezerowym równaniem. Znaleźć to równanie.
Jeśli ma być jedno równanie, to istnieje takie \(\displaystyle{ t}\), że rząd \(\displaystyle{ W = 1}\). Jednak \(\displaystyle{ W}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) w pozostałych przypadkach. Dla \(\displaystyle{ t = 2}\) układ zatem daje się opisać dwoma niezerowymi równaniami, a nie jednym. Gdzie popełniam błąd?
Ostatnio zmieniony 18 paź 2019, o 18:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Błąd jest w tym miejscu.Filippo9669 pisze: ↑18 paź 2019, o 17:44Jeśli ma być jedno równanie, to istnieje takie \(\displaystyle{ t}\), że rząd \(\displaystyle{ W = 1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Bo to nieprawda. Jedno niezerowe równanie opisuje w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\).
Nawiasem mówiąc, wyrażenie "rząd \(\displaystyle{ W}\)" jest niepoprawne, bo \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią - sens mają wyrażenia "rząd macierzy" i "wymiar podprzestrzeni", ale nie "rząd podprzestrzeni".
Nawiasem mówiąc, wyrażenie "rząd \(\displaystyle{ W}\)" jest niepoprawne, bo \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią - sens mają wyrażenia "rząd macierzy" i "wymiar podprzestrzeni", ale nie "rząd podprzestrzeni".
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
To prawda, nie spojrzałem jak pisałem.
Wiem, jedno równanie opisuje płaszczyznę, natomiast ja dostaję dwa równania liniowe, więc prostą. Jak zatem dostać jedno równanie?
Wiem, jedno równanie opisuje płaszczyznę, natomiast ja dostaję dwa równania liniowe, więc prostą. Jak zatem dostać jedno równanie?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
To może napisz równanie, które dostajesz i w jaki sposób.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Kombinacja liniowa wektorów:
\(\displaystyle{ a + 2b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ 2a + 5b + 3c =0}\)
\(\displaystyle{ a + 3b + tc = 0 }\)
Z tego dostaję \(\displaystyle{ y = -x}\) i \(\displaystyle{ z = x}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ x = y = z = 0}\) przeciwnie.
Edit: wydaje mi się to głupotą.
\(\displaystyle{ av_{1} + bv_{2}+ cv_{3} = (x, y, z)}\). Nie wiem jaki warunek postawić, aby opis był tylko jednym równaniem.
\(\displaystyle{ a + 2b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ 2a + 5b + 3c =0}\)
\(\displaystyle{ a + 3b + tc = 0 }\)
Z tego dostaję \(\displaystyle{ y = -x}\) i \(\displaystyle{ z = x}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) oraz \(\displaystyle{ x = y = z = 0}\) przeciwnie.
Edit: wydaje mi się to głupotą.
\(\displaystyle{ av_{1} + bv_{2}+ cv_{3} = (x, y, z)}\). Nie wiem jaki warunek postawić, aby opis był tylko jednym równaniem.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Sprowadzamy macierz złożoną z wierszy \(\displaystyle{ ( 1,2,1), (2,5,3), (1, 3, t) }\) do postaci schodkowej zredukowanej.
\(\displaystyle{ t =... }\)
Macierz złożoną z wierszy ....
\(\displaystyle{ t =... }\)
Macierz złożoną z wierszy ....
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Tak też robiłem. Jedyne nietrywialne rozwiązanie jest dla t=2.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Te równania nie opisują podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\), tylko podprzestrzeń prostopadłą do \(\displaystyle{ W}\).Filippo9669 pisze: ↑18 paź 2019, o 19:52 Kombinacja liniowa wektorów:
\(\displaystyle{ a + 2b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ 2a + 5b + 3c =0}\)
\(\displaystyle{ a + 3b + tc = 0 }\)
Wyznaczyć szukane równanie można na dwa sposoby. Pierwszy polega na stwierdzeniu, że
\(\displaystyle{ W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by + cz = 0 \}}\)
dla pewnych liczb rzeczywistych, a następnie podstawieniu pod \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) dwóch wektorów rozpinających \(\displaystyle{ W}\), co pozwoli wyznaczyć szukane \(\displaystyle{ a, b, c}\). Wynik oczywiście nie wyjdzie jednoznaczny, bo jeśli jedno równanie zadaje podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\), to każde równanie proporcjonalne do niego też.
Drugi sposób to obliczyć wektor prostopadły do \(\displaystyle{ W}\) korzystając z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}}\).
Wtedy możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ W}\) składa się dokładnie z wektorów prostopadłych do \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}\), czyli równaniem \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ ax + by + cz = 0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Macierz
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)
sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = z \\ y = -z \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ x + y = 0 . }\)
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)
sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = z \\ y = -z \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ x + y = 0 . }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 wrz 2012, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Przechodzisz z opisu prostej do opisu płaszczyzny. W \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) widzę tu problem.
Ok, wyszło mi, że ponownie nietrywialne rozwiązania istnieją dla \(\displaystyle{ t = 2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = c \\ b = -c \\ c∈\RR \end{cases} }\).
Dostaję wtedy całą rodzinę rozwiązań, ze szczególnym np. \(\displaystyle{ x - y + c = 0}\) dla \(\displaystyle{ c = 1}\).
Ostatnio zmieniony 20 paź 2019, o 17:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Opis podprzestrzeni pojedynczym równaniem
Raczej \(\displaystyle{ x - y + z = 0}\), reszta OK.Filippo9669 pisze: ↑20 paź 2019, o 16:44Dostaję wtedy całą rodzinę rozwiązań, ze szczególnym np. \(\displaystyle{ x - y + c = 0}\) dla \(\displaystyle{ c = 1}\).