Znajdowanie macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
horkruks_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 paź 2019, o 20:46
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Znajdowanie macierzy

Post autor: horkruks_ »

Znajdź wszystkie \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) macierze \(\displaystyle{ A}\) takie, że \(\displaystyle{ A^{2} = A}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}}\).

Wtedy \(\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix}a^2+bc &b(a+d) \\ c(a+d) &d^2+bc\end{bmatrix}}\).

Mam już rozwiązane sytuacje, gdy
\(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c=0,}\)
\(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c \neq 0,}\)
\(\displaystyle{ c=0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0.}\)

Mam problem z sytuacją, gdy
\(\displaystyle{ b \neq 0}\) i \(\displaystyle{ c \neq 0.}\)
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 22:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ A^2 = A }\)

\(\displaystyle{ A^2 - A = 0, \ \ A*(A - I ) = 0, \ \ A = ?, \ \ A = ? }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 14 paź 2019, o 22:36 \(\displaystyle{ A^2 = A }\)

\(\displaystyle{ A^2 - A = 0, \ \ A*(A - I ) = 0, \ \ A = ?, \ \ A = ? }\)
Januszowi47 coś się pomyliło. Z faktu, że dwie macierze spełniają warunek \(AB=0\) nie wynika, że jedna z nich jest zerem.


Twój trop jest dobry. Jeżeli \(b\neq 0\) , to \(a+d=1\). Wyciągnij wnioski.
horkruks_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 paź 2019, o 20:46
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: horkruks_ »

a4karo pisze: 14 paź 2019, o 23:31
janusz47 pisze: 14 paź 2019, o 22:36 \(\displaystyle{ A^2 = A }\)

\(\displaystyle{ A^2 - A = 0, \ \ A*(A - I ) = 0, \ \ A = ?, \ \ A = ? }\)
Januszowi47 coś się pomyliło. Z faktu, że dwie macierze spełniają warunek \(AB=0\) nie wynika, że jedna z nich jest zerem.


Twój trop jest dobry. Jeżeli \(b\neq 0\) , to \(a+d=1\). Wyciągnij wnioski.
Mam już ten warunek. Co z sytuacją gdy b i c są różne od zera? Jak wyznaczyć a i d?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: janusz47 »

Należy też uwzględnić przypadki:

\(\displaystyle{ A = 0 \vee A = I, }\)

znajdując rozwiązanie tego wielomianu macierzowego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 15 paź 2019, o 08:38 Należy też uwzględnić przypadki:

\(\displaystyle{ A = 0 \vee A = I, }\)

znajdując rozwiązanie tego wielomianu macierzowego.
A sądzisz, ze te rozwiązania się nie pojawią gdy się zadanie rozwiąże POPRAWNIE?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: janusz47 »

Pojawiają się, gdy uwzględni się wszystkie prawidłowo uwzględnione przypadki. To nie przeszkadza, żeby te dwa przypadki uzyskać z rozwiązania tego wielomianu macierzowego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: a4karo »

Janusz, daj spokój. Dałeś błędna wskazówkę i zamiast się do tego przyznać lub przemilczec brniesz w jakieś bzdurne "uzasadnienia"
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = a^2 +bc \\ b = b(c+d) \\ c = c(c+d) \\ d = d^2 + bc \end{cases} }\)

Z \(\displaystyle{ (2), (3) \ \ c + d = 1 }\)

Z \(\displaystyle{ (1) \ \ a(a-1) +bc = 0 }\)

Z \(\displaystyle{ (4) \ \ d(d-1)+bc = 0 }\)

\(\displaystyle{ a=1, \ \ b= 0, \ \ d = 0 \ \ c\neq 0}\)

\(\displaystyle{ a = 0, \ \ b=0, \ \ c = 0, \ \ d=1 }\)

\(\displaystyle{ a=0, \ \ b=0, \ \ c = 0 , \ \ d=0 }\)

\(\displaystyle{ a= 0 , \ \ c = 0, \ \ d=1, \ \ b\neq 0 }\)

\(\displaystyle{ a = 1, \ \ b=0, \ \ c=0, \ \ d=0 }\)

\(\displaystyle{ a = 1, \ \ b = 0, \ \ c =0, \ \ d =1 }\)

\(\displaystyle{ a=0, \ \ b=0, \ \ d= 1, \ \ c\neq 0 }\)

\(\displaystyle{ a = a^2 + (1-a) a }\)

\(\displaystyle{ a , \ \ b = 1-a, \ \ c = a, \ \ d = 1- a, \ \ a\neq 1. }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1&0 \\ c&0 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0&0 \\ 0&1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0&0 \\ 0& 0 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0&b \\ 0& 1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1&0 \\ 0&0 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0&0 \\ c&1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a&1-a \\ a&1-a \end{matrix} \right] }\)
horkruks_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 paź 2019, o 20:46
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: horkruks_ »

janusz47 pisze: 15 paź 2019, o 11:52 \(\displaystyle{ \begin{cases} a = a^2 +bc \\ b = b(c+d) \\ c = c(c+d) \\ d = d^2 + bc \end{cases} }\)
Ale tam w nawiasie przy wartości \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie ma \(\displaystyle{ (c+d)}\) tylko \(\displaystyle{ (a+d).}\)
Ostatnio zmieniony 16 paź 2019, o 20:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cytuj tylko istotny fragment posta.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdowanie macierzy

Post autor: janusz47 »

Literówka, zamiast \(\displaystyle{ a}\) napisałem \(\displaystyle{ c}\). W rozwiązaniu uwzględniłem \(\displaystyle{ ( a+ d)}\).
Ostatnio zmieniony 16 paź 2019, o 20:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ