Macierz Jordana macierzy nilpotentnej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Macierz Jordana macierzy nilpotentnej

Post autor: strefa61 »

Hej. Potrzebuję kilku wyjaśnień dot macierzy nilpotentnych i ich postaci Jordana.
Weźmy jakąś macierz nilpotentną \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}}\) i najmniejsza potęga k (nie wiem jak się to określa - indeks?) \(\displaystyle{ A^k=0}\).
Ta macierz odpowiada jakiemuś odwzorowaniu liniowemu: \(\displaystyle{ A: E \rightarrow E }\)
Wiem, że mogę zrobić bazę taką, że \(\displaystyle{ \left\{ v,A\left( v\right), ... , A^{s-1}\left( v\right) \right\} }\) są liniowo niezależne i \(\displaystyle{ A^{s}\left( v\right) = 0 }\)
Podobno w tej bazie (bazie podprzestrzeni(niezmienniczej?) \(\displaystyle{ E}\)) macierz obcięcia tego przekształcenia do tej podprzestrzeni ma postać nilopotentnego bloku Jordana \(\displaystyle{ J_{s \times s}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ldots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \ldots & \ldots & 0
\end{array}\right]}\)

Moje zasadnicze pytanie: dlaczego ten blok tak wygląda? Doszedłem do czegoś takiego:
Weźmy macierz: \(\displaystyle{ P=\left[ A^{s-1}v | ... | Av | v\right] }\) Jeśli przemnożę przez nią J, to dostanę: \(\displaystyle{ \left[ 0 | A^{s-1}v | ... | Av \right] }\) Czyli rzeczywiście coś, co dostałbym po przemnożeniu przez A:\(\displaystyle{ PJ=AP \Rightarrow J=P^{-1}AP}\) (w tym zawężeniu). O to w tym chodzi?
I teraz pytanie: skoro ten blok Jordana jest macierzą tego przekształcenia w obcięciu, to znaczy, że kolumny są obrazami wektorów z bazy przez to przekształcenie i wtedy mamy: \(\displaystyle{ J=\left[ A(A^{s-1}) | ... | A(v) \right] }\) i to faktycznie są wektory współrzędnych obrazów wektorów z naszej bazy w tejże bazie. Ale przecież \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą przekształcenia w bazie standardowej - czy tutaj korzystamy z koniecznego? założenia, że jest to podprzestrzeń niezmiennicza?
Na sporo rzeczy chyba odpowiedziałem sobie w trakcie pisania tego wątku, ale jeśli ktoś będzie mógł potwierdzić ten tok rozumowania, albo coś poprawić/poradzić, to będzie naprawdę super.
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2019, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Macierz Jordana macierzy nilpotentnej

Post autor: karolex123 »

Weźmy macierz nilpotentną \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}}\). Niech \(\displaystyle{ v \neq 0}\) będzie dowolnym niezerowym wektorem. Istnieje wówczas \(\displaystyle{ s \leq n}\) takie, że \(\displaystyle{ A^s v=0}\) (bierzemy najmniejsze takie \(\displaystyle{ s}\)). Wówczas wektory \(\displaystyle{ v,Av, \dots , A^{s-1} v}\) są liniowo niezależne. Co więcej podprzestrzeń rozpięta przez te wektory jest \(\displaystyle{ A}\)-niezmiennicza. Zatem jest sens mówić o przekształceniu liniowym \(\displaystyle{ A}\) obciętym do \(\displaystyle{ lin(v, \dots , A^{s-1}v)}\). Znajdziemy macierz tego przekształcenia w tej bazie.
Mamy \(\displaystyle{ A(A^k v)=A^{k+1}v}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq k<s-1}\) oraz \(\displaystyle{ A(A^{s-1}v)=0}\). Zatem w \(\displaystyle{ k}\)-tej kolumnie szukanej macierzy musi pojawić się jedynka w wierszu \(\displaystyle{ k+1}\)-szym (bo takie są współrzędne obrazu wektora \(\displaystyle{ A^{k-1}v}\) w bazie \(\displaystyle{ \left( v,Av, \dots , A^{s-1}v \right) }\)). Dlatego (według mojej notacji i uporządkowania bazy!) macierz naszego przekształcenia jest taka jak Twoja, tylko że transponowana.
ODPOWIEDZ