Macierze blokowe odwzorowania liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Macierze blokowe odwzorowania liniowego

Post autor: strefa61 »

Cześć, mam pytanie odności diagonalnej macierzy odwzorowania liniowego.
Weźmy przestrzenie linowe \(\displaystyle{ V, \ V_{1} , \ V_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ V_{1} , \ V_{2}}\) są podprzestrzeniami linowymi \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ V_{1} \bigoplus V_{2} = V}\)
Mam dość podstawowe pytanie, ale próbuję zrozumieć dowód tw. Jordana i bez tego chyba nie ruszę.
Załóżmy, że wymiary obu podprzestrzeni są silnie mniejsze od wymiaru przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Dla przykładu: \(\displaystyle{ dimV_{1}=dimV_{2}=1}\) i są to podprzestrzenie zwykłej płaszczyzny. Macierz jakiegoś przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: V \rightarrow V}\) będzie kwadratowa \(\displaystyle{ 2\times 2}\).
Bazami moich podprzestrzeni będą i tak wektory 2-wymiarowe, zatem macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L :V_{i} \rightarrow V_{i}}\) też będzie \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Zatem jeśli zesumuję: \(\displaystyle{ A_1 \bigoplus A_2}\) to otrzymam macierz klatkową o wymiarze de facto \(\displaystyle{ 4\times 4}\). Stąd moje pytanie: jak wtedy wygląda mnożenie przez wektor z bazy np. \(\displaystyle{ V_1}\)? Nie mogę przecież zwiększyć wymiaru mojej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Re: Macierze blokowe odwzorowania liniowego

Post autor: strefa61 »

Znam już odpowiedź, ale nie widzę nigdzie opcji 'usuń'.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Macierze blokowe odwzorowania liniowego

Post autor: Gosda »

Odpowiem, gdyby ktoś jednak trafił na ten wątek w przyszłości: bazy Twoich podprzestrzeni są jednoelementowe, dlatego każdy z wektorów w podprzestrzeni można zapisać jako kombinacja liniowa jednego wektora bazowego, co dla Ciebie oznacza, że wektory są 1-wymiarowe (nie ma takiego sformułowania w znanej mi algebrze liniowej). Wszystko gra.

Dzieje się tak dlatego, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ V_1}\) nie jest bezpośrednio podzbiorem \(\displaystyle{ V}\), tylko identyfikuje się ją z \(\displaystyle{ \{(x, 0) \colon x \in V_1\} \subseteq V}\).
ODPOWIEDZ