Obroty elementarne i równość wyznaczników

[matmatmm]

Obrotem elementarnym w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n\geq 2}\) nazywamy złożenie obrotu w zakresie którychkolwiek dwóch współrzędnych z tożsamością w zakresie pozostałych współrzędnych. Uwaga - nie chodzi o zwyczajne składanie funkcji. Definicja tego składania jest opisana w książce Borsuka "Geometria analityczna wielowymiarowa". Dla obrotów elementarnych definicja sprowadza się do takiej:

Funkcję \(\displaystyle{ \xi:\RR^n\rightarrow\RR^n}\) nazywamy obrotem elementarnym, gdy istnieje obrót \(\displaystyle{ r:\RR^2\rightarrow\RR^2}\) wokół punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz wskaźniki \(\displaystyle{ i,j\in\{1,\ldots,n\}, i<j}\) takie, że
\(\displaystyle{ \xi(x)_k=\begin{cases}r(x_i,x_j)_1 & , k=i \\ r(x_i,x_j)_2 & , k=j \\ x_k & , k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{i,j\}\end{cases}}\)
, gdzie dolny wskaźnik oznacza odpowiednią współrzędną danego wektora.

Zadanie brzmi:

Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n\geq 2}\) oraz \(\displaystyle{ (n+1)}\) punktów \(\displaystyle{ p_0,\ldots, p_n \in \RR^n}\), gdzie \(\displaystyle{ p_m=(a_{m1},\ldots,a_{mn})}\) dla \(\displaystyle{ m=0,\ldots,n}\).

Przez \(\displaystyle{ V(p_0,\ldots,p_n)}\) oznaczamy wyznacznik

\(\displaystyle{ \det\left|\begin{array}{cccc}1 & a_{01} & \ldots & a_{0n} \\ 1 & a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots \\ 1 & a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{array}\right|}\)

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \xi:\RR^n\rightarrow\RR^n}\) jest obrotem elementarnym, to \(\displaystyle{ V(p_0,\ldots,p_n)=V(\xi(p_0),\ldots,\xi(p_n))}\).

[Dasio11]

Jeśli oznaczymy dla \(\displaystyle{ m = 0, \ldots, n}\)

\(\displaystyle{ \xi \begin{pmatrix} a_{m1} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{m1} \\ \vdots \\ b_{mn} \end{pmatrix}}\),

to

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & \overline{0}^{\top} \\ \overline{0} & m(\xi) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ a_{01} & a_{11} & \ldots & a_{n1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{0n} & a_{1n} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ b_{01} & b_{11} & \ldots & b_{n1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{0n} & b_{1n} & \ldots & b_{nn} \end{pmatrix}}\),

więc z twierdzenia Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix} 1 & \overline{0}^{\top} \\ \overline{0} & m(\xi) \end{pmatrix} \cdot V(p_0, \ldots, p_n) = V(\xi(p_0), \ldots, \xi(p_n)).}\)

Jednak z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \xi}\) jest obrotem elementarnym, mamy

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix} 1 & \overline{0}^{\top} \\ \overline{0} & m(\xi) \end{pmatrix} = 1 \cdot \det m(\xi) = 1}\),

co kończy dowód. W ten sam sposób można tezę otrzymać nawet przy słabszym założeniu \(\displaystyle{ \det \xi = 1}\).

[matmatmm]

Dowód jak najbardziej zrozumiały, jednak pozostaje mi jeszcze kwestia udowodnienia, że macierz obrotu elementarnego ma wyznacznik \(\displaystyle{ 1}\). Potrafię udowodnić, że obrót elementarny jest izometrią i znam twierdzenie , że izometria jest funkcją afiniczną oraz jej macierz ma wyznacznik \(\displaystyle{ \pm 1}\). Jak wywnioskować, że jest to \(\displaystyle{ 1}\)? Jakby się dało to chętnie zobaczyłbym też elementarny dowód (bez tego twierdzenia).

[karolex123]

Wystarczy sprawdzić, że obrót \(\displaystyle{ r: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) wokół punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) ma wyznacznik równy \(\displaystyle{ 1}\). To zaś jest oczywiste, bowiem obrót zachowuje orientację płaszczyzny (ewentualnie można popatrzeć na macierz obrotu) i tak jak zobaczyłeś, jest izometrią.

[matmatmm]

Wystarczy sprawdzić, że obrót \(\displaystyle{ r: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) wokół punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) ma wyznacznik równy \(\displaystyle{ 1}\).

Dlaczego to wystarczy?

[Dasio11]

W bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n, e_i, e_j)}\), gdzie w części z kropkami pomijamy \(\displaystyle{ e_i}\) i \(\displaystyle{ e_j}\), macierz obrotu elementarnego takiego jak w Twoim pierwszym poście to:

\(\displaystyle{ m_{\mathcal{B}}(\xi) = \begin{pmatrix}
1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & \ldots & 1 & 0 & 0 \\
0 & \ldots & 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\
0 & \ldots & 0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}}\)

Łatwo pokazać (jakkolwiek - z definicji, z rozwinięcia Laplace'a, z faktu o wyznaczniku złożenia przekształceń liniowych - w takim sensie, jak w Twoim pierwszym poście...), że w takim razie

\(\displaystyle{ \det m_{\mathcal{B}}(\xi) = \det \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = 1}\).

A ponieważ wyznacznik przekształcenia liniowego nie zależy od wyboru bazy, musi więc być \(\displaystyle{ \det m(\xi) = 1}\).

Właściwie liczenie macierzy \(\displaystyle{ \xi}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) nie jest konieczne, żeby ten argument przeszedł - wszystko działa również dla \(\displaystyle{ m(\xi)}\), ale wydaje mi się, że zmiana bazy delikatnie poprawia czytelność.

[matmatmm]

Udało mi się udowodnić pewne fakty odnośnie składania przekształceń liniowych (w tym innym sensie).

Mianowicie jeśli \(\displaystyle{ f:\RR^k\rightarrow\RR^k, g:\RR^l\rightarrow\RR^l}\) są odwzorowaniami liniowymi o macierzach odpowiednio \(\displaystyle{ A,B}\), natomiast \(\displaystyle{ I,J\subseteq\{1,\ldots,k+l\}}\) są takie, że \(\displaystyle{ |I|=k,|J|=l,I\cap J=\emptyset}\), to złożenie \(\displaystyle{ \xi:\RR^{k+l}\rightarrow\RR^{k+l}}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zakresie współrzędnych o wskaźnikach ze zbioru \(\displaystyle{ I}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ g}\) w zakresie współrzędnych o wskaźnikach ze zbioru \(\displaystyle{ J}\), jest odwzorowaniem liniowym o macierzy \(\displaystyle{ C}\) takiej, że po skreśleniu wierszy i kolumn o numerach w zbiorze \(\displaystyle{ J}\) otrzymujemy macierz \(\displaystyle{ A}\), po skreśleniu wierszy i kolumn o numerach w zbiorze \(\displaystyle{ I}\) otrzymujemy macierz \(\displaystyle{ B}\), a pozostałe miejsca w tej macierzy to zera.

Jedyne czego mi brakuje do szczęścia, a co domyślam się jest prawdą i zapewne szeroko znanym faktem, to że \(\displaystyle{ \det C=\det A\cdot \det B}\).

Dobrze myślę?

[Dasio11]

Tak.

Warto nieco uogólnić: załóżmy, że \(\displaystyle{ U, V}\) są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) (na przykład \(\displaystyle{ K = \RR}\) jeśli nie czujesz dowolnych ciał). Przypomnę, że sumę prostą \(\displaystyle{ U \oplus V}\) definiujemy formalnie jako \(\displaystyle{ U \times V}\) z działaniami

\(\displaystyle{ (u, v) + (u', v') = (u+u', v+v'), \qquad \qquad \alpha \cdot (u, v) = (\alpha u, \alpha v)}\)

czyli tak żeby \(\displaystyle{ \RR^k \oplus \RR^l \cong \RR^{k+l}}\).

Zwyczajowo zamiast \(\displaystyle{ (u, v)}\) pisze się \(\displaystyle{ u+v}\), ale dla podkreślenia różnicy między tym plusem a dodawaniem (choć jest ona nieduża) ja będę pisać \(\displaystyle{ u \oplus v}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f : U \to U}\) i \(\displaystyle{ g : V \to V}\) są liniowe. Wtedy można naturalnie zdefiniować złożenie - takie jak u Ciebie - \(\displaystyle{ f \oplus g : U \oplus V \to U \oplus V}\) jako

\(\displaystyle{ (f \oplus g)(u \oplus v) = f(u) \oplus g(v).}\)

Jeśli teraz ustalimy dowolne bazy: \(\displaystyle{ \mathcal{B} = (b_1, \ldots, b_k)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{C} = (c_1, \ldots, c_l)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ \mathcal{D} = (b_1, \ldots, b_k, c_1, \ldots, c_l)}\) jest bazą \(\displaystyle{ U \oplus V}\) i

\(\displaystyle{ m_{\mathcal{D}}(f \oplus g) = \begin{pmatrix} m_{\mathcal{B}}(f) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & m_{\mathcal{C}}(g) \end{pmatrix}.}\)


À propos drugiej części: chcemy pokazać, że

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1k} & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{k1} & \ldots & a_{kk} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \ldots & 0 & b_{11} & \ldots & b_{1l} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & b_{l1} & \ldots & b_{ll}
\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{k1} & \ldots & a_{kk}
\end{pmatrix} \cdot \, \det \begin{pmatrix}
b_{11} & \ldots & b_{1l} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{l1} & \ldots & b_{ll}
\end{pmatrix}.}\)

Jeśli bowiem opisana przez Ciebie macierz jest macierzą w bazie \(\displaystyle{ (e_1, \ldots, e_{k+l})}\), to w bazie \(\displaystyle{ ( e_i : i \in I ) ^\frown ( e_j : j \in J )}\) macierz tego samego przekształcenia będzie wyglądała tak jak po lewej stronie powyższej tożsamości. Innymi słowy: macierz, którą opisujesz, można sprowadzić do macierzy takiej jak powyżej, traktując jednocześnie jej kolumny i wiersze permutacją \(\displaystyle{ \pi^{-1}}\), gdzie

\(\displaystyle{ \pi = \begin{pmatrix} 1 & \ldots & k & k+1 & \ldots & k+l \\ i_1 & \ldots & i_k & j_1 & \ldots & j_l \end{pmatrix}}\)

oraz \(\displaystyle{ I = \{ i_1, \ldots, i_k \}}\) i \(\displaystyle{ J = \{ j_1, \ldots, j_l \}}\) a ponadto \(\displaystyle{ i_1 < \ldots < i_k}\) i \(\displaystyle{ j_1 < \ldots < j_l}\).

Teza jest prawdziwa nawet wtedy, gdy tylko w jednym z rogów są zera. Ja udowodnię powyższe korzystając tylko z zer w prawym górnym rogu, a tezę w drugim przypadku można otrzymać przez symetryczne rozumowanie (albo transponując macierz).

Oznaczmy wyrazy macierzy po lewej stronie przez \(\displaystyle{ c_{ij}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i, j \le n=k+l}\). Z definicji:

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix}
c_{11} & \ldots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n1} & \ldots & c_{nn}
\end{pmatrix} = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n c_{i \sigma(i)}.}\)

Niech \(\displaystyle{ D}\) oznacza zbiór takich permutacji \(\displaystyle{ \sigma \in S_n}\), że \(\displaystyle{ \sigma \big[ \{ 1, \ldots, k \} \big] = \{ 1, \ldots, k \}}\) (zatem siłą rzeczy również \(\displaystyle{ \sigma \big[ \{ k+1, \ldots, k+l \} \big] = \{ k+1, \ldots, k+l \}}\)). Zauważmy, że dla każdej permutacji \(\displaystyle{ \sigma \in S_n \setminus D}\) istnieje \(\displaystyle{ 1 \le i_0 \le k}\) takie, że \(\displaystyle{ \sigma(i_0) > k}\), a wtedy

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n c_{i \sigma(i)} = 0,}\)

bo \(\displaystyle{ c_{i_0 \sigma(i_0)}}\) leży w prawym górnym rogu macierzy, a tam są zera. Zatem w istocie

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix}
c_{11} & \ldots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n1} & \ldots & c_{nn}
\end{pmatrix} = \sum_{\sigma \in D} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n c_{i \sigma(i)}.}\)

Zauważmy, że każda permutacja \(\displaystyle{ \sigma \in D}\) odpowiada wzajemnie jednoznacznie parze permutacji \(\displaystyle{ (\tau, \eta) \in S_k \times S_l}\), takiej że

\(\displaystyle{ \sigma(i) = \begin{cases} \tau(i) & \text{dla } 1 \le i \le k \\ k+\eta(i-k) & \text{dla } k+1 \le i \le k+l \end{cases}}\)

Co więcej: nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ \mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\tau) \, \mathrm{sgn}(\eta).}\) Stąd

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\sum_{\sigma \in D} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n c_{i \sigma(i)} & = \sum_{(\tau, \eta) \in S_k \times S_l} \mathrm{sgn}(\tau) \, \mathrm{sgn}(\eta) \left( \prod_{i=1}^k a_{i \tau(i)} \cdot \prod_{j=1}^l b_{j \eta(j)} \right) \\
& = \left( \sum_{\tau \in S_k} \mathrm{sgn}(\tau) \prod_{i=1}^k a_{i \tau(i)} \right) \cdot \left( \sum_{\eta \in S_l} \mathrm{sgn}(\eta) \prod_{j=1}^l b_{j \eta(j)} \right)
\end{align*} $}\)

a ostatnie wyrażenie równa się prawej stronie dowodzonej tożsamości wprost z definicji.