Złożenie symterii

[Filomena]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:
Znaleźć symetrie osiowe, które po złożeniu dadzą:
a) \(\displaystyle{ T_{[4,6]}}\)

b) \(\displaystyle{ R^{ \frac{ \pi }{3} } _{A(2,4)}}\)

[kerajs]

a)
Przypuszczam, że chodzi o translację o wektor \(\displaystyle{ \left[ 4,6\right]}\). Jeśli tak, to przykładem takich osi będą proste:
\(\displaystyle{ l_1: \ y= \frac{2}{3}x \\
l_2: \ y= \frac{2}{3}x+ \frac{5}{3}}\)

b)
Czym jest R ? (Zgadywałbym że obrotem o środku w A i o podany kąt)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[yellow] (-3.5,-2.5) grid (3.5,5.5);
\draw[gray,thin,->] (-4,0)--(4,0);
\draw[gray,thin,->] (0,-2)--(0,6);
\draw[green] plot [domain=-3:4] (\x,2*\x/3) node[right] {$l_1$};
\draw[green] plot [domain=-3:4] (\x,2*\x/3+5/3) node[right] {$l_2$};
\fill[red] (0,0) circle (1mm) node [below right] {$X=S_{l_1}(X)=(0,0)$};
\fill[red] (-20/13,30/13) circle (1mm) node[left] {$S_{l_2}(S_{l_1}(X))$}
\end{tikzpicture}}\) To nie wyglada jak przesunięcie o \(\displaystyle{ [4,6]}\)

[kerajs]

Ech, zgubiłem minus. Sorki.
Powinno być:
\(\displaystyle{ l_1: \ y= \frac{-2}{3}x \\
l_2: \ y-3= \frac{-2}{3}(x-2) \Rightarrow y= \frac{-2}{3}x + \frac{13}{3}}\)

można to uogólnić na:
\(\displaystyle{ l_1: \ y= \frac{-2}{3}x+a \\
l_2: \ y= \frac{-2}{3}x + \frac{13}{3}+a}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą.

[Filomena]

Dziękuję bardzo!
Tak, R to obrót.

[kerajs]

Obrót o środku \(\displaystyle{ A}\) o kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) to złożenie dwóch symetrii symetrii osiowych w których obie osie przechodzą przez punkt \(\displaystyle{ A}\), a kąt miedzy pierwszą a drugą symetralną wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\)
Twoją rotację spełniają przykładowe:
\(\displaystyle{ l_1: \ y=4\\
l_2: \ y-4= \frac{ \sqrt{3} }{3} (x-2)}\)

[Filomena]

Mógłbyś mi wyjaśnić skąd się wzięło tutaj te \(\displaystyle{ \frac{-2}{3}x \\}\)?
\(\displaystyle{ l_1: \ y= \frac{-2}{3}x \\}\)

[a4karo]

Wiesz czym jest złożenie dwóch symetrii?
Albo obrotem o kąt dwa razy większy niż kąt między prostymi - jeżeli się przecinają,
albo przesunięciem o wektor, który jest do nich prostopadły i ma długość dwa racy większą niż odległość między prostymi - gdy są równoległe.
Wyciągnij z tego wnioski.