Podprzestrzeń przestrzeni liniowej wszystkich ciągów

[aneta909811]

Udowodnij, że zbiór wszystkich ciągów zbieżnych jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich ciągów rzeczywistych. Czy zbiór ciągów monotonicznych też jest podprzestrzenią tej przestrzeni liniowej?

[Janusz Tracz]

a) Z definicji trzeba sprawić, że dodawanie ciągów zbieżnych daje ciąg zbieżny oraz, że mnożenie przez skalar nie zmienia faktu zbieżności. To wynika z arytmetyki granic wszak dla ciągów zbieżnych mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( a_n+b_n\right) = \lim_{n \to \infty } a_n+ \lim_{n \to \infty } b_n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } c \cdot a_n=c \cdot \lim_{n \to \infty } a_n}\)

b) Nie. Kontrprzykład to na przykład \(\displaystyle{ a_n=2^n}\) i \(\displaystyle{ b_n=-10n}\) które są monotoniczne ale ich suma już nie.

[szw1710]

b) Nie. Kontrprzykład to na przykład \(\displaystyle{ a_n=2^n}\) i \(\displaystyle{ b_n=-10n}\) które są monotoniczne ale ich suma już nie.

Natomiast zbiór ciągów niemalejących (nierosnących) jest tzw. stożkiem. Istotnie, suma dwóch ciągów niemalejących (nierosnących) jest ciągiem niemalejącym (nierosnącym). Iloczyn ciągu niemalejącego (nierosnącego) przez skalar nieujemny jest ciągiem niemalejącym (nierosnącym).

Stożki są dość ważne w algebrze liniowej.