równanie z macierzami

[mwojc]

Cześć!
Mam równanie:

\(\displaystyle{ \mathbf{M} - \mathbf{E}\mathbf{V} - (\mathbf{E}\mathbf{V})^T = 0}\)

Wszystkie macierze w równaniu są kwadratowe tego samego rozmiaru. \(\displaystyle{ \mathbf{M}, \mathbf{E}}\) są symetryczne, ale niekoniecznie dają się odwrócić. \(\displaystyle{ \mathbf{V}}\) nie jest symetryczna ale daje się odwrócić.

Da się wyznaczyć z tego równania \(\displaystyle{ \mathbf{E}}\)?

[janusz47]

Z symetryczności macierzy \(\displaystyle{ E}\)

\(\displaystyle{ E^{T}= E}\)

Z transpozycji iloczynu macierzy

\(\displaystyle{ M - EV -EV^{T} = O}\)

\(\displaystyle{ M - E(V+V^{T}) = O}\)

\(\displaystyle{ E(V+V^{T}) = M | \cdot (V+V^{T})^{-1}}\)

\(\displaystyle{ E = M(V +V^{T})^{-1}.}\)

[mwojc]

Niestety to jest błędne rozwiązanie, ponieważ \(\displaystyle{ (\mathbf{E}\mathbf{V})^T=\mathbf{V}^T\mathbf{E}\neq \mathbf{E}\mathbf{V}^T}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ E}\) - nie jest macierzą jednostkową?

[mwojc]

\(\displaystyle{ \mathbf{E}}\) jest niewiadomą (z symetrią).

[pasman]

Cześć!
Mam równanie:

\(\displaystyle{ \mathbf{M} - \mathbf{E}\mathbf{V} - (\mathbf{E}\mathbf{V})^T = 0}\)

Wszystkie macierze w równaniu są kwadratowe tego samego rozmiaru. \(\displaystyle{ \mathbf{M}, \mathbf{E}}\) są symetryczne, ale niekoniecznie dają się odwrócić. \(\displaystyle{ \mathbf{V}}\) nie jest symetryczna ale daje się odwrócić.

Da się wyznaczyć z tego równania \(\displaystyle{ \mathbf{E}}\)?

Rozłóżmy V na część symetryczną i antysymetryczną:

\(\displaystyle{ M = E (V_s+V_a) + (V_s+V_a)^T E^T}\)

Dostajesz układ równań który na pewno rozwiążesz :

\(\displaystyle{ M = E V_s + V_s E}\)
\(\displaystyle{ 0 = E V_a - V_a E}\)

[janusz47]

Pomysł dobry, ale najpierw musimy przedstawić macierz \(\displaystyle{ V}\) w postaci

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{2}( V + V^{T}) + \frac{1}{2}(V - V^{T})}\)

Wtedy otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ M - E \left (\frac{1}{2}(V + V^{T}) + \frac{1}{2}(V - V^{T})\right) - \left (\frac{1}{2}(V + V^{T}) + \frac{1}{2}(V - V^{T})\right)^{T} E = O?}\)

[mwojc]

Rozłóżmy V na część symetryczną i antysymetryczną:

\(\displaystyle{ M = E (V_s+V_a) + (V_s+V_a)^T E^T}\)

Dostajesz układ równań który na pewno rozwiążesz :

\(\displaystyle{ M = E V_s + V_s E}\)
\(\displaystyle{ 0 = E V_a - V_a E}\)

Hej. Dzięki za sugestię, ale w jaki sposób przeszedłeś do tego układu równań? Wydaje mi się, że ten układ jest nieprawidłowy. Łatwo to sprawdzić przyjmując losowe macierze \(\displaystyle{ E}\) (symetryczna) i \(\displaystyle{ V}\) (niesymetryczna) i wyznaczając \(\displaystyle{ M}\) z oryginalnego wzoru. Dla takich macierzy, żadne z równań układu nie jest spełnione...

Czy ktoś ma jeszcze jakiś pomysł?-- 14 sie 2019, o 10:45 --Hej! To samo pytanie zadałem

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/3322171/how-to-solve-m-ev-evt-0-against-e

i mam odpowiedź. Okazuje się, że jest to równanie Lapunowa, a rozwiązanie jest następujące:

\(\displaystyle{ E = \int_0^\infty e^{V^{T}\tau}\,M\,e^{V\tau} d\tau}\)

Pozdrawiam,
Marek