Dlaczego zbiór pusty tworzy...

[grenda1999]

Cześć, prosiłbym o pomoc z kilkoma pytaniami, z wyjaśnieniem krok po kroku:
1) Dlaczego zbiór pusty tworzy przestrzeń liniową? - Rozumiem, że spełnia warunki, ale dziwne mi się wydaję przykładowo \(\displaystyle{ 1*element \ z \ zbioru \ pustego, \ czyli \ 'nic'='nic'}\).
2) Dlaczego zbiór pusty jest bazą przestrzeni jednoelementowej \(\displaystyle{ \{0\}}\)?
3) Niech \(\displaystyle{ \Pi_{n}}\) oznacza zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia nie większego niż n. Niech teraz dla \(\displaystyle{ a \in \RR}\), \(\displaystyle{ \Pi_{n}(a)=\lbrace w \in \Pi_{n}: w(a)=0 \rbrace.}\)
Można zapisać to tak: \(\displaystyle{ w(x)=(x-a)g(x)}\), dla pewnego \(\displaystyle{ g \in \Pi_{n-1}}\). Wielomian w jest kombinacją liniową wielomianów: \(\displaystyle{ x-a, \ x(x-a), \ x^{2}(x-a), \..., \ x^{n-1}(x-a)}\). Wielomiany te są liniowo niezależne dlaczego? Ja zrobiłem to tak, ale nie wiem czy dobrze \(\displaystyle{ \alpha_{1}(x-a)+\alpha_{2}x(x-a)+...=(x-a)(\alpha_{1}+\alpha_{2}x+\alpha_{3}x^{2}+...)=0 \Rightarrow \alpha_{1}, \ \alpha_{2}, \...=0}\)
4) Co oznacza taki zapis: zbiór \(\displaystyle{ \lbrace f \in \Upsilon(\RR, \ \RR): \forall x \ f(x)=f(-x) \rbrace}\), chodzi mi tylko o to \(\displaystyle{ \Upsilon(\RR, \ \RR)}\)? Jest to zbiór funkcji \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \RR}\)

[Jan Kraszewski]

1) Dlaczego zbiór pusty tworzy przestrzeń liniową?

To nie jest prawda. Jakiej używasz definicji przestrzeni liniowej?

JK

[grenda1999]

Takiej:
Trójkę \(\displaystyle{ (X, \ +, \ \cdot)}\) nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową jeżeli:
a) \(\displaystyle{ +: X \times X \rightarrow X}\) jest działaniem wewnętrznym w \(\displaystyle{ X}\), takim że struktura \(\displaystyle{ (X,\ +)}\) jest grupą abelową
b) \(\displaystyle{ \cdot: \RR \times X \rightarrow X}\) jest działaniem zewnętrznym w \(\displaystyle{ X}\), takim że równości:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot (x+y)=(\alpha \cdot x)+(\alpha \cdot y)}\)
\(\displaystyle{ (\alpha + \beta) \cdot x=(\alpha \cdot x)+(\beta \cdot y)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot (\beta \cdot x)=(\alpha\beta) \cdot x}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot x=x}\)
zachodzą dla dowolnych \(\displaystyle{ x, \ y \in X}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha, \ \beta \in \RR}\)

[Jan Kraszewski]

Trójkę \(\displaystyle{ (X, \ +, \ \cdot)}\) nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową jeżeli:
a) \(\displaystyle{ +: X \times X \rightarrow X}\) jest działaniem wewnętrznym w \(\displaystyle{ X}\), takim że struktura \(\displaystyle{ (X,\ +)}\) jest grupą abelową

No to jak chcesz spełnić ten warunek w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ X=\emptyset}\) ? Grupa wymaga istnienia elementu neutralnego.

JK

[grenda1999]

Zapytałem dlatego, że wydało mi się generalnie jako całość dziwne, a taką informację mam zapisaną w wykładzie i nie potrafiłem tego zrozumieć. Rozumiem w takim razie, że tak nie jest, dziękuję za pomoc w tym pytaniu.

[Jan Kraszewski]

Nie jest.

JK

[grenda1999]

Zna ktoś może odpowiedź na pozostałe 3 pytania, ewentualnie wskazówki, byłbym bardzo wdzięczny?

[matmatmm]

2) Dlaczego zbiór pusty jest bazą przestrzeni jednoelementowej \(\displaystyle{ \{0\}}\)?

Wektor zerowy nie może należeć do bazy, gdyż jak łatwo sprawdzić układ złożony z wektora zerowego jest liniowo zależny.