ile jest rowny wymiar przestrzeni wektorowej
\(\displaystyle{ \{p\in\mathbb{R}_{4}[x]:p(1)+p'(0)=p'(1)+p''(0)=0\}\ ?}\)
wymiar przestrzeni wektorowej
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
wymiar przestrzeni wektorowej
Ostatnio zmieniony 24 lip 2019, o 19:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
wymiar przestrzeni wektorowej
Niech \(\displaystyle{ p(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E, \ A,B, C,D\in \RR}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ p(1)+p'(0)=A+B+C+2D+E}\)
oraz
\(\displaystyle{ p'(1)+p''(0)=4A+3B+4C+D}\),
czyli możemy napisać np.
\(\displaystyle{ E=-A-B-C-2D, \ D=-4A-3B-4C}\)
stąd po podstawieniu za \(\displaystyle{ D}\) do pierwszego równania
\(\displaystyle{ E=7A+5B+7C, \ D=-4A-3B-4C}\)
czyli wielomiany z tej przestrzeni można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ A(x^4-4x+7)+B(x^3-3x+5)+C(x^2-4x+7)}\).
Wnioski?
Wówczas
\(\displaystyle{ p(1)+p'(0)=A+B+C+2D+E}\)
oraz
\(\displaystyle{ p'(1)+p''(0)=4A+3B+4C+D}\),
czyli możemy napisać np.
\(\displaystyle{ E=-A-B-C-2D, \ D=-4A-3B-4C}\)
stąd po podstawieniu za \(\displaystyle{ D}\) do pierwszego równania
\(\displaystyle{ E=7A+5B+7C, \ D=-4A-3B-4C}\)
czyli wielomiany z tej przestrzeni można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ A(x^4-4x+7)+B(x^3-3x+5)+C(x^2-4x+7)}\).
Wnioski?