Podprzestrzeń liniowa wektorów o nieujemnych składowych

[koczurekk]

Dane są 3 wektory, \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}_{\geq 0}^3}\), jak mogę sprawdzić (najlepiej algorytmicznie) czy zachodzi \(\displaystyle{ \{\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}: \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}_{\geq 0} \} = \mathbb{R}_{\geq 0}^3}\)?

//edit: Wydaje mi się że jedyną taką trójką wektorów jest \(\displaystyle{ (a, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ (0, b, 0)}\), \(\displaystyle{ (0, 0, c)}\) dla \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}_{\geq 0}}\) (+ permutacje oczywiście), ale nie jestem co do tego pewny.

[Premislav]

Coś nie tak z treścią; dla dowolnych
\(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}_{\geq 0}^3}\)
i dowolnych skalarów rzeczywistych nieujemnych \(\displaystyle{ \alpha, \ \beta, \ \gamma}\) coś takiego:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}}\) jest wektorem z \(\displaystyle{ \RR^3}\), a nie liczbą rzeczywistą.

[koczurekk]

Oczywiście, zapomniałem o ^{3}, już poprawiam.

[Premislav]

Niechaj
\(\displaystyle{ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right), \ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right), \ \vec{c}=\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)}\)

Rozważamy dwa przypadki:
1) wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c}}\) są liniowo zależne.
Wówczas łatwo widać, że warunki zadania nie mogą być spełnione, gdyż
wymiar \(\displaystyle{ \textbf{lin}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})}\) jest nie większy niż \(\displaystyle{ 2}\), toteż któryś z wektorów
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), \ \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), \ \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}\)
nie należy do \(\displaystyle{ \textbf{lin}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})}\).

2) wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c}}\) są liniowo niezależne.
Niech \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in \RR_{\ge 0}^3}\) – ustalony.
Równanie
\(\displaystyle{ \alpha \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{x}}\)
zapisujemy w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}\)
Stąd dla danego \(\displaystyle{ \vec{x}}\) możemy wyliczyć wektor
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}\)
Trzeba „tylko" zbadać, dla jakich współczynników \(\displaystyle{ a_i, \ b_i, \ c_i\ge 0}\) takich, że \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c}}\) są liniowo niezależne, otrzymane
\(\displaystyle{ \alpha, \ \beta, \ \gamma}\) będą nieujemne.
Niestety nie potrafię tego zrobić prościej niż posiłkując się wzorem na macierz odwrotną.
Ponieważ
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}\),
więc potrzeba i wystarcza sprawdzić, czy nieujemne są wszystkie współrzędne wektorów
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}\).
Wzór na macierz odwrotną \(\displaystyle{ 3\times 3}\) masz na przykład



Na pewno to nie jest najzgrabniejsze rozwiązanie (może jakieś sumy proste czy ki diabeł), ale zdolność myślenia matematycznego jest dla mnie całkowicie nieosiągalna.

[MrCommando]

Można jeszcze wzorów Cramera użyć w sumie zamiast macierzy odwrotnej, tak mi przyszło do głowy, wyznaczniki takich "małych" macierzy nawet się przyjemnie liczy (a odwracać macierzy nie lubię). Ale nic lepszego nie widzę.

[a4karo]

Po pierwsze, wszystkie współczynniki wektorów muszą być nieujemne (dlaczego?)

Po drugie : zastanów się jakim obiektem geometrycznym jest zbiór ich kombinacji liniowych z nieujemnymi wspolczynnikami (wsk: jak wygląda ten zbiór w przypadku wektorów standardowej bazy?)