Grupa podzielna przez 2
-
szw1710
Re: Grupa podzielna przez 2
Chodzi o to, aby każde element miał swoją "połówkę". Dokładniej \(\displaystyle{ (G,+,e)}\) jest grupą podzielną przez dwa (two-divisible group), jeśli dla każdego \(\displaystyle{ g\in G}\) równanie \(\displaystyle{ x+x=g}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Kolokwialnie mówiąc chodzi o możliwość rozwiązania równanie \(\displaystyle{ 2x=g.}\) Wtedy byłoby \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}g.}\) I to ma sens w np. w liczbach rzeczywistych. Już grupa liczb wymiernych jest podzielna przez dwa. Ale grupa liczb całkowitych z oczywistych względów nie jest. Np. jakie jest rozwiązanie równania \(\displaystyle{ 2x=1}\) w liczbach całkowitych?
Grupy podzielne przez dwa mają zastosowanie np. w teorii stabilności w sensie Hyersa-Ulama równania Cauchy'ego. Otóż, jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą podzielną przez dwa oraz przemienną, to można mówić sensownie o równaniu Cauchy'ego \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y),}\) gdzie \(\displaystyle{ f:G\to X}\) (\(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń Banacha). Przyjmując konwencję \(\displaystyle{ 2x=x+x}\), konstruuje się tzw. ciąg Hyersa: \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{2^n}f(2^n x).}\) No i tu potrzebna jest ta jednoznaczna podzielność przez dwa.
Jeśli \(\displaystyle{ |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le\varepsilon}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in G}\), to okazuje się, że przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) ciąg Hyersa spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny, bo \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią Banacha. Jego granica \(\displaystyle{ a(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)}\) jest funkcją addytywną spełniającą warunek \(\displaystyle{ |f(x)-a(x)|\le\varepsilon}\). I to jest teza twierdzenia Hyersa (1942). Problem postawił Ulam w 1941.
Kolokwialnie mówiąc chodzi o możliwość rozwiązania równanie \(\displaystyle{ 2x=g.}\) Wtedy byłoby \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}g.}\) I to ma sens w np. w liczbach rzeczywistych. Już grupa liczb wymiernych jest podzielna przez dwa. Ale grupa liczb całkowitych z oczywistych względów nie jest. Np. jakie jest rozwiązanie równania \(\displaystyle{ 2x=1}\) w liczbach całkowitych?
Grupy podzielne przez dwa mają zastosowanie np. w teorii stabilności w sensie Hyersa-Ulama równania Cauchy'ego. Otóż, jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą podzielną przez dwa oraz przemienną, to można mówić sensownie o równaniu Cauchy'ego \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y),}\) gdzie \(\displaystyle{ f:G\to X}\) (\(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń Banacha). Przyjmując konwencję \(\displaystyle{ 2x=x+x}\), konstruuje się tzw. ciąg Hyersa: \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{2^n}f(2^n x).}\) No i tu potrzebna jest ta jednoznaczna podzielność przez dwa.
Jeśli \(\displaystyle{ |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le\varepsilon}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in G}\), to okazuje się, że przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) ciąg Hyersa spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny, bo \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią Banacha. Jego granica \(\displaystyle{ a(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)}\) jest funkcją addytywną spełniającą warunek \(\displaystyle{ |f(x)-a(x)|\le\varepsilon}\). I to jest teza twierdzenia Hyersa (1942). Problem postawił Ulam w 1941.