Rozważ macierze hermitowskie \(\displaystyle{ M_1,M_2,M_3,M_4}\) spełniające równania
\(\displaystyle{ M_i M_j + M_j M_i=2\delta_{ij}I}\) dla \(\displaystyle{ i,j=1,...,4}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta_{ij}}\) jest deltą Kroneckera, a \(\displaystyle{ I}\) operatorem tożsamościowym.
1)Wykaż, że wartości własne \(\displaystyle{ M_i}\) wynoszą \(\displaystyle{ \pm 1}\).
2)Wykaż, że ślad macierzy \(\displaystyle{ M_i}\) jest równy zero.
3)Wykaż, że wymiar tych macierzy nie może być nieparzysty.
1) Jeżeli \(\displaystyle{ i=j}\), to z równania mamy \(\displaystyle{ M_{i}M_{i}=I}\), ale \(\displaystyle{ M_{i}=M_{i}^\dagger}\), więc \(\displaystyle{ M_{i}}\) jest unitarna dla \(\displaystyle{ i=1,...,4}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ M_{i}}\). \(\displaystyle{ M_{i}}\) jest unitarna, więc \(\displaystyle{ \left| \omega \right|=1}\) i hermitowska, więc \(\displaystyle{ \omega \in \mathbb{R}}\), wobec czego \(\displaystyle{ \omega=\pm 1}\).
2) Jeżeli \(\displaystyle{ i \neq j}\), to \(\displaystyle{ M_i M_j=-M_j M_i}\). Pomnóżmy lewostronnie przez \(\displaystyle{ M_{j}^\dagger}\): \(\displaystyle{ M_{j}^\dagger M_i M_j=-M_{j}^\dagger M_j M_i=-M_i}\). Korzystając z własności \(\displaystyle{ Tr(ABC)=Tr(CAB)}\) (cykliczne permutacje, dowód był jako jedno z poprzednich ćwiczeń), mamy \(\displaystyle{ Tr(M_{j}^\dagger M_i M_j)=Tr(M_i M_j M_{j}^\dagger)=Tr(M_i)}\), ale \(\displaystyle{ Tr(M_{j}^\dagger M_i M_j)=-Tr(M_i)}\). Przyrównując, mamy \(\displaystyle{ Tr(M_i)=-Tr(M_i)}\), skąd \(\displaystyle{ Tr(M_i)=0}\).
3) Jeżeli zapiszemy \(\displaystyle{ M_i}\) w jej bazie własnej (ślad macierzy nie zmienia się przy unitarnej zmianie bazy \(\displaystyle{ Tr(U^\dagger A U)=Tr(A U U^\dagger)=Tr(A)}\)), to widzimy, że \(\displaystyle{ Tr(M_i)= \sum_{}^{} \omega = 0}\), jednak \(\displaystyle{ \omega=\pm 1}\), więc suma musi mieć parzystą liczbę składników - wymiar macierzy też musi być parzysty, bo jest on równy liczbie wartości własnych.
Proszę o sprawdzenie moich rozwiązań. Zadanie pochodzi z książki "Mechanika Kwantowa" (Ramamurti Shankar).
