Wektory główne- dowód

[Izab321]

Mam udowodnić twierdzenie, że macierz \(\displaystyle{ A}\) nie posiada wektorów głównych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) rzędu wyższego niz \(\displaystyle{ m _{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ m _{i}}\) jest wykładnikiem czynnika \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) w wielomianie minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Dowód prowadzony jest przez hipotezę: Istnieje wektor główny z rzędu \(\displaystyle{ m _{i}+1}\) odpowiadający \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) .

Cały dowód rozumiem, ale w pewnym momencie przyjmujemy \(\displaystyle{ w _{i}(\lambda):= \frac{m(\lambda)}{(\lambda-\lambda _{i} ) ^{m _{i} } }.}\)
I tu moje pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ w _{i}(\lambda)}\) oraz \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) są względnie pierwsze?
Wiem, że to oznacza, że nie maja wspólnego podzielnika z wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\), ale nie widzę, żeby nie miały.

[Dasio11]

gdzie \(\displaystyle{ m _{i}}\) jest wykładnikiem czynnika \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) w wielomianie minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Takie założenie oznacza zazwyczaj, że \(\displaystyle{ m(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i} \cdot \mu(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu(x)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ \lambda - \lambda_i}\), a więc w szczególności - jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ (\lambda - \lambda_i)^{m_i}}\).

[Izab321]

Tak juz to zrozumiałam, ale mam problem też z tym
Wielomian minimalny : \(\displaystyle{ m(\lambda)=(\lambda-\lambda _{1}) ^{m _{1} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{i}) ^{m _{i} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{p}) ^{m _{p} }}\)

\(\displaystyle{ w _{i}(\lambda):= \frac{m(\lambda)}{(\lambda-\lambda _{i} ) ^{m _{i} } }}\)
Tym razem \(\displaystyle{ w _{1}(\lambda),...,w _{i}(\lambda),..,w _{p}(\lambda)}\) są względnie pierwsze
i tego nie rozumiem bo w każdym wykreślimy (skróci się) składnik przez który dzielimy , ale zostana pozostałe i będą wspólne
Chyba że bierzemy pod uwage , że wszystkie nigdy nie będa mieć wspólnego czynnika i dlatego są względnie pierwsze to wtedy rozumiem .

[Kordyt]

Te wielomiany są względnie pierwsze, a nie "parami względnie pierwsze".
To drugie sformułowanie dotyczy właśnie sytuacji, gdzie dowolne dwa wybrane spośród \(\displaystyle{ \omega_i}\) były by względnie pierwsze.