Mam udowodnić twierdzenie, że macierz \(\displaystyle{ A}\) nie posiada wektorów głównych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) rzędu wyższego niz \(\displaystyle{ m _{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ m _{i}}\) jest wykładnikiem czynnika \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) w wielomianie minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\).
Dowód prowadzony jest przez hipotezę: Istnieje wektor główny z rzędu \(\displaystyle{ m _{i}+1}\) odpowiadający \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) .
Cały dowód rozumiem, ale w pewnym momencie przyjmujemy \(\displaystyle{ w _{i}(\lambda):= \frac{m(\lambda)}{(\lambda-\lambda _{i} ) ^{m _{i} } }.}\)
I tu moje pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ w _{i}(\lambda)}\) oraz \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) są względnie pierwsze?
Wiem, że to oznacza, że nie maja wspólnego podzielnika z wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\), ale nie widzę, żeby nie miały.
Wektory główne- dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
Wektory główne- dowód
Ostatnio zmieniony 24 cze 2019, o 08:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wektory główne- dowód
Takie założenie oznacza zazwyczaj, że \(\displaystyle{ m(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i} \cdot \mu(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu(x)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ \lambda - \lambda_i}\), a więc w szczególności - jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ (\lambda - \lambda_i)^{m_i}}\).Izab321 pisze:gdzie \(\displaystyle{ m _{i}}\) jest wykładnikiem czynnika \(\displaystyle{ (\lambda -\lambda _{i})}\) w wielomianie minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
Re: Wektory główne- dowód
Tak juz to zrozumiałam, ale mam problem też z tym
Wielomian minimalny : \(\displaystyle{ m(\lambda)=(\lambda-\lambda _{1}) ^{m _{1} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{i}) ^{m _{i} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{p}) ^{m _{p} }}\)
\(\displaystyle{ w _{i}(\lambda):= \frac{m(\lambda)}{(\lambda-\lambda _{i} ) ^{m _{i} } }}\)
Tym razem \(\displaystyle{ w _{1}(\lambda),...,w _{i}(\lambda),..,w _{p}(\lambda)}\) są względnie pierwsze
i tego nie rozumiem bo w każdym wykreślimy (skróci się) składnik przez który dzielimy , ale zostana pozostałe i będą wspólne
Chyba że bierzemy pod uwage , że wszystkie nigdy nie będa mieć wspólnego czynnika i dlatego są względnie pierwsze to wtedy rozumiem .
Wielomian minimalny : \(\displaystyle{ m(\lambda)=(\lambda-\lambda _{1}) ^{m _{1} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{i}) ^{m _{i} } \cdot ... \cdot (\lambda-\lambda _{p}) ^{m _{p} }}\)
\(\displaystyle{ w _{i}(\lambda):= \frac{m(\lambda)}{(\lambda-\lambda _{i} ) ^{m _{i} } }}\)
Tym razem \(\displaystyle{ w _{1}(\lambda),...,w _{i}(\lambda),..,w _{p}(\lambda)}\) są względnie pierwsze
i tego nie rozumiem bo w każdym wykreślimy (skróci się) składnik przez który dzielimy , ale zostana pozostałe i będą wspólne
Chyba że bierzemy pod uwage , że wszystkie nigdy nie będa mieć wspólnego czynnika i dlatego są względnie pierwsze to wtedy rozumiem .
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Wektory główne- dowód
Te wielomiany są względnie pierwsze, a nie "parami względnie pierwsze".
To drugie sformułowanie dotyczy właśnie sytuacji, gdzie dowolne dwa wybrane spośród \(\displaystyle{ \omega_i}\) były by względnie pierwsze.
To drugie sformułowanie dotyczy właśnie sytuacji, gdzie dowolne dwa wybrane spośród \(\displaystyle{ \omega_i}\) były by względnie pierwsze.