Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
W czterowymiarowej przestrzeni Euklidesa płaszczyzna \(\displaystyle{ \Pi_1}\) przechodzi, przez punkty \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\2\\1\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right]}\) i , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2\\2\\2\\1\end{array}\right]}\), natomiast płaszczyzna \(\displaystyle{ \Pi_2}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\\8\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\3\\8\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1\\5\\6\\6\end{array}\right]}\).
a)Czy płaszczyzny są równoległe
b)Jaka jest odległość między płaszczyznami?
a)Czy płaszczyzny są równoległe
b)Jaka jest odległość między płaszczyznami?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Kiedy dwie płaszczyzny (hiperpowierzchnie) są równoległe?
Jak oblicza się odległość dwóch równoległych płaszczyzn (hiperpowierzchni) jednym ze sposobów?
Jak oblicza się odległość dwóch równoległych płaszczyzn (hiperpowierzchni) jednym ze sposobów?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Dlatego napisałem hiperpowierzchnie powinno być hiperpłaszczyzny w nawiasach. Przenosząc na przypadek przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej \(\displaystyle{ E^{n}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Gdybym znał odpowiedzi na te pytania to bym się nie pytał o zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Oznacz pierwsze trzy punkty przez \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3}\) drugie przez \(\displaystyle{ B_1,B_2,B_3}\).
\(\displaystyle{ \Pi_1}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2}\) będą równoległe gdy przestrzenie \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})}\) oraz \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{B_1B_2},\overrightarrow{B_1B_3})}\) będą takie same.
\(\displaystyle{ \Pi_1}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2}\) będą równoległe gdy przestrzenie \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})}\) oraz \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{B_1B_2},\overrightarrow{B_1B_3})}\) będą takie same.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
a.
Jeżeli trzy punkty \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, p_{3}}\) mają należeć do pewnej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), wtedy wektory
\(\displaystyle{ \alpha_{1} = \vec{p_{2}- p_{1}}, \ \ \alpha _{2} = \vec{p_{3}- p_{1}}}\)
zawarte są w tej płaszczyźnie (hiperpłaszczyźnie).
Jeżeli wektor
\(\displaystyle{ \beta = [ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}]}\)
jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), to musi być prostopadły do każdego z wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}.}\)
Z warunku prostopadłości wektorów:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_{1}\cdot \beta = 0 \\ \alpha_{2}\cdot \beta = 0 \end{cases} \ \ (1)}\)
Zbadaj rząd tego układu.
Z układu równań (1) wyznaczamy współrzędne wektora prostopadłego \(\displaystyle{ \beta}\) dla każdej z płaszczyzn (hiperpłaszczyzn) \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}.}\)
Kiedy więc płaszczyzny (hiperpłaszczyzny) będą równoległe?
Unforg1 ven wypadałoby zaopatrzyć się w podręcznik do geometrii analitycznej- wielowymiarowej.
Polecam klasyczny i przystępny podręcznik naszego matematyka Karola Borsuka - geometria analityczna wielowymiarowa.
Jeżeli trzy punkty \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, p_{3}}\) mają należeć do pewnej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), wtedy wektory
\(\displaystyle{ \alpha_{1} = \vec{p_{2}- p_{1}}, \ \ \alpha _{2} = \vec{p_{3}- p_{1}}}\)
zawarte są w tej płaszczyźnie (hiperpłaszczyźnie).
Jeżeli wektor
\(\displaystyle{ \beta = [ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}]}\)
jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), to musi być prostopadły do każdego z wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}.}\)
Z warunku prostopadłości wektorów:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_{1}\cdot \beta = 0 \\ \alpha_{2}\cdot \beta = 0 \end{cases} \ \ (1)}\)
Zbadaj rząd tego układu.
Z układu równań (1) wyznaczamy współrzędne wektora prostopadłego \(\displaystyle{ \beta}\) dla każdej z płaszczyzn (hiperpłaszczyzn) \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}.}\)
Kiedy więc płaszczyzny (hiperpłaszczyzny) będą równoległe?
Unforg1 ven wypadałoby zaopatrzyć się w podręcznik do geometrii analitycznej- wielowymiarowej.
Polecam klasyczny i przystępny podręcznik naszego matematyka Karola Borsuka - geometria analityczna wielowymiarowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Wtedy kiedy wektory zdefiniowane analogicznie dla drugiej płaszczyzny,tj.janusz47 pisze: Kiedy więc płaszczyzny (hiperpłaszczyzny) będą równoległe?
\(\displaystyle{ \vec{\yamma_1}={q_3}-\vec{q_1}}\)\(\displaystyle{ \vec{\yamma_1}=\vec{q_2}-\vec{q_1}}\)
będą kombinacją liniową \(\displaystyle{ \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4}\)
Lub inaczej kiedy wektory \(\displaystyle{ \beta_1, \beta_2, \beta_3,\beta_4}\),będą rozpinały tą samą przestrzeń co analogiczne wektory dla drugiej przestrzeni.
Dobrze rozumiem?
Edit: Nie ważne teraz dopiero (tj. po napisaniu tego posta) zobaczyłem post a4karo, z jakiegoś powodu mi on umknął.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Zadanie dotyczy płaszczyzn - czyli (warstw) podprzestrzeni dwuwymiarowych - w przestrzeni czterowymiarowej. W takiej sytuacji wektor prostopadły do ustalonej płaszczyzny nie jest wyznaczony z dokładnością do skalowania, tak jak ma to miejsce w przestrzeni trójwymiarowej, bo wszystkie wektory prostopadłe do tej płaszczyzny tworzą podprzestrzeń dwuwymiarową, czyli znów płaszczyznę. Dlatego niewiele pomaga w tym zadaniu odwoływanie się do wektorów prostopadłych.
Najlepiej zrobić tak jak radzi a4karo. Jeśli zaś chodzi o wyznaczenie odległości, to można skorzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ d( v_{n+1}, \mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \} ) = \frac{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_{n+1})}{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_n)},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k)}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_k}\) i wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k) = \sqrt{ \det ( \left< v_i, v_j \right> )_{i, j = 1}^k }.}\)
Najlepiej zrobić tak jak radzi a4karo. Jeśli zaś chodzi o wyznaczenie odległości, to można skorzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ d( v_{n+1}, \mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \} ) = \frac{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_{n+1})}{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_n)},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k)}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_k}\) i wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k) = \sqrt{ \det ( \left< v_i, v_j \right> )_{i, j = 1}^k }.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Czy dobrze rozumiem notacje, że \(\displaystyle{ v_{n+1}}\) jest dowolnym punktem należącym do drugiej płaszczyzny, tj. jak \(\displaystyle{ \Pi_1=\mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \}}\) to \(\displaystyle{ v_{n+1} \in \Pi_2}\) ,czy to musi być jaki konkretny punkt żeby ten wzór był prawdziwy?Dasio11 pisze: \(\displaystyle{ d( v_{n+1}, \mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \} ) = \frac{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_{n+1})}{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_n)},}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Chyba najprostszy sposób obliczenia odległości między tymi płaszczyznami jest taki:
Zakładając, że są one równoległe możemy zrobić coś takiego:
Przesuwamy obie płaszczyzny o wektor \(\displaystyle{ -\overrightarrow{OA_1}}\). W ten sposób dostaniemy dwie płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_1'}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2'}\), z któych pierwsza przechodzi przez początek ukłądu \(\displaystyle{ O}\), a druga przez punkty \(\displaystyle{ B_1',B_2',B_3'}\).
Równanie wektorowe płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_2'}\) to \(\displaystyle{ \overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}}\)
Szukany kwadrat odległości to minimum funkcji \(\displaystyle{ ||\overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}||}\)
co sprowadza zagadnienie do znalezienia minimum prostej funkcji kwadratowej dwóch zmiennych.
Zakładając, że są one równoległe możemy zrobić coś takiego:
Przesuwamy obie płaszczyzny o wektor \(\displaystyle{ -\overrightarrow{OA_1}}\). W ten sposób dostaniemy dwie płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_1'}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2'}\), z któych pierwsza przechodzi przez początek ukłądu \(\displaystyle{ O}\), a druga przez punkty \(\displaystyle{ B_1',B_2',B_3'}\).
Równanie wektorowe płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_2'}\) to \(\displaystyle{ \overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}}\)
Szukany kwadrat odległości to minimum funkcji \(\displaystyle{ ||\overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}||}\)
co sprowadza zagadnienie do znalezienia minimum prostej funkcji kwadratowej dwóch zmiennych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
\(\displaystyle{ \pi_{1}:}\)
\(\displaystyle{ p_{1,1}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,2} \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,3} =\left[\begin{array}{ccc}-2\\2\\2\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}:}\)
\(\displaystyle{ p_{2,1}= \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\\8\end{array}\right], \ \ p_{2,2} = \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\3\\8\end{array}\right] \ \ p_{2,3} = \left[\begin{array}{ccc}-1\\5\\6\\6\end{array}\right].}\)
\(\displaystyle{ \pi_{1} = (0,2,1,1) + lin[(0, -2, 1, 0), (-2,0,1,0)]}\)
Rozwiązujemy układ równań opisujący przestrzeń styczną
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & -2 & 1 &0\\ -2 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 &0\\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} &0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} \right]}\)
Baza przestrzeni rozwiązań
\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{1} = [1, 1, 2, 0 ]}\)
Płaszczyzna styczna opisana jest równaniem
\(\displaystyle{ 1\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z + 0\cdot t = 0}\)
Z przesunięcia znajdujemy wyraz wolny
\(\displaystyle{ 1\cdot 0 +1\cdot 2 +2\cdot 1 + 0\cdot 1 = 4.}\)
Równanie płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi_{1}: x + y + 2\cdot z +0\cdot t = 4}\)
Podobnie znajdujemy równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi_{2} = (1,2,4,8) + lin[ (2,0,-1,0), (-2,3, 2, -2)]}\)
Przestrzeń styczna
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2 & 0 & -1 &0\\ 2 & 3 & 2 & -2 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 1 & -\frac{3}{2} & -1 & 1 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} \right]}\)
Baza
\(\displaystyle{ \math{B}_{2} = [ 3,-2, 6, 0]}\)
Równanie płaszczyzny stycznej
\(\displaystyle{ 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =0}\)
Wyraz wolny
\(\displaystyle{ 3\cdot 1 -2\cdot 2 +6\cdot 4 +0\cdot 8 = 23}\)
Równanie płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi_{2}: 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =23.}\)
Wektory kierunkowe płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}}\)
\(\displaystyle{ [ 1, 1, 2, 0] \not\parallel [ 3, -2, 6, 0 ]}\) - płaszczyzny nie są równoległe.-- 23 cze 2019, o 19:44 --Wyżej opisany sposób znajdowania równań hiperpłaszczyzn pochodzi od Pana dr Michała Korcha z MiMUW.
\(\displaystyle{ p_{1,1}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,2} \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,3} =\left[\begin{array}{ccc}-2\\2\\2\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}:}\)
\(\displaystyle{ p_{2,1}= \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\\8\end{array}\right], \ \ p_{2,2} = \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\3\\8\end{array}\right] \ \ p_{2,3} = \left[\begin{array}{ccc}-1\\5\\6\\6\end{array}\right].}\)
\(\displaystyle{ \pi_{1} = (0,2,1,1) + lin[(0, -2, 1, 0), (-2,0,1,0)]}\)
Rozwiązujemy układ równań opisujący przestrzeń styczną
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & -2 & 1 &0\\ -2 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 &0\\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} &0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} \right]}\)
Baza przestrzeni rozwiązań
\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{1} = [1, 1, 2, 0 ]}\)
Płaszczyzna styczna opisana jest równaniem
\(\displaystyle{ 1\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z + 0\cdot t = 0}\)
Z przesunięcia znajdujemy wyraz wolny
\(\displaystyle{ 1\cdot 0 +1\cdot 2 +2\cdot 1 + 0\cdot 1 = 4.}\)
Równanie płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi_{1}: x + y + 2\cdot z +0\cdot t = 4}\)
Podobnie znajdujemy równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi_{2} = (1,2,4,8) + lin[ (2,0,-1,0), (-2,3, 2, -2)]}\)
Przestrzeń styczna
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2 & 0 & -1 &0\\ 2 & 3 & 2 & -2 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 1 & -\frac{3}{2} & -1 & 1 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} \right]}\)
Baza
\(\displaystyle{ \math{B}_{2} = [ 3,-2, 6, 0]}\)
Równanie płaszczyzny stycznej
\(\displaystyle{ 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =0}\)
Wyraz wolny
\(\displaystyle{ 3\cdot 1 -2\cdot 2 +6\cdot 4 +0\cdot 8 = 23}\)
Równanie płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi_{2}: 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =23.}\)
Wektory kierunkowe płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}}\)
\(\displaystyle{ [ 1, 1, 2, 0] \not\parallel [ 3, -2, 6, 0 ]}\) - płaszczyzny nie są równoległe.-- 23 cze 2019, o 19:44 --Wyżej opisany sposób znajdowania równań hiperpłaszczyzn pochodzi od Pana dr Michała Korcha z MiMUW.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?
Po pierwsze: ten układ równań nie opisuje przestrzeni stycznej, tylko przestrzeń prostopadłą. Po drugie: w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) przestrzeń prostopadła do płaszczyzny jest płaszczyzną, nie może więc mieć jednoelementowej bazy.janusz47 pisze:Rozwiązujemy układ równań opisujący przestrzeń styczną
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & -2 & 1 &0\\ -2 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 &0\\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} &0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} \right]}\)
Baza przestrzeni rozwiązań
\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{1} = [1, 1, 2, 0 ]}\)