Czy ''płaszczyzny'' są równoległe?

[Unforg1ven]

W czterowymiarowej przestrzeni Euklidesa płaszczyzna \(\displaystyle{ \Pi_1}\) przechodzi, przez punkty \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\2\\1\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right]}\) i , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2\\2\\2\\1\end{array}\right]}\), natomiast płaszczyzna \(\displaystyle{ \Pi_2}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\\8\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\3\\8\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1\\5\\6\\6\end{array}\right]}\).
a)Czy płaszczyzny są równoległe
b)Jaka jest odległość między płaszczyznami?

[janusz47]

Kiedy dwie płaszczyzny (hiperpowierzchnie) są równoległe?
Jak oblicza się odległość dwóch równoległych płaszczyzn (hiperpowierzchni) jednym ze sposobów?

[a4karo]

To nie są hiperplaszczyzny. Każda z nich ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\)

[janusz47]

Dlatego napisałem hiperpowierzchnie powinno być hiperpłaszczyzny w nawiasach. Przenosząc na przypadek przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej \(\displaystyle{ E^{n}.}\)

[Unforg1ven]

Gdybym znał odpowiedzi na te pytania to bym się nie pytał o zadanie.

[a4karo]

Oznacz pierwsze trzy punkty przez \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3}\) drugie przez \(\displaystyle{ B_1,B_2,B_3}\).
\(\displaystyle{ \Pi_1}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2}\) będą równoległe gdy przestrzenie \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})}\) oraz \(\displaystyle{ \rm{lin}(\overrightarrow{B_1B_2},\overrightarrow{B_1B_3})}\) będą takie same.

[janusz47]

a.
Jeżeli trzy punkty \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, p_{3}}\) mają należeć do pewnej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), wtedy wektory

\(\displaystyle{ \alpha_{1} = \vec{p_{2}- p_{1}}, \ \ \alpha _{2} = \vec{p_{3}- p_{1}}}\)

zawarte są w tej płaszczyźnie (hiperpłaszczyźnie).

Jeżeli wektor

\(\displaystyle{ \beta = [ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}]}\)

jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny (hiperpłaszczyzny), to musi być prostopadły do każdego z wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}.}\)

Z warunku prostopadłości wektorów:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_{1}\cdot \beta = 0 \\ \alpha_{2}\cdot \beta = 0 \end{cases} \ \ (1)}\)

Zbadaj rząd tego układu.

Z układu równań (1) wyznaczamy współrzędne wektora prostopadłego \(\displaystyle{ \beta}\) dla każdej z płaszczyzn (hiperpłaszczyzn) \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}.}\)

Kiedy więc płaszczyzny (hiperpłaszczyzny) będą równoległe?


Unforg1 ven wypadałoby zaopatrzyć się w podręcznik do geometrii analitycznej- wielowymiarowej.

Polecam klasyczny i przystępny podręcznik naszego matematyka Karola Borsuka - geometria analityczna wielowymiarowa.

[Unforg1ven]

Kiedy więc płaszczyzny (hiperpłaszczyzny) będą równoległe?

Wtedy kiedy wektory zdefiniowane analogicznie dla drugiej płaszczyzny,tj.
\(\displaystyle{ \vec{\yamma_1}={q_3}-\vec{q_1}}\)\(\displaystyle{ \vec{\yamma_1}=\vec{q_2}-\vec{q_1}}\)
będą kombinacją liniową \(\displaystyle{ \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4}\)

Lub inaczej kiedy wektory \(\displaystyle{ \beta_1, \beta_2, \beta_3,\beta_4}\),będą rozpinały tą samą przestrzeń co analogiczne wektory dla drugiej przestrzeni.
Dobrze rozumiem?
Edit: Nie ważne teraz dopiero (tj. po napisaniu tego posta) zobaczyłem post a4karo, z jakiegoś powodu mi on umknął.

[janusz47]

Kiedy wektory prostopadłe płaszczyzn (hiperpłaszczyzn) będą równoległe.

[Dasio11]

Zadanie dotyczy płaszczyzn - czyli (warstw) podprzestrzeni dwuwymiarowych - w przestrzeni czterowymiarowej. W takiej sytuacji wektor prostopadły do ustalonej płaszczyzny nie jest wyznaczony z dokładnością do skalowania, tak jak ma to miejsce w przestrzeni trójwymiarowej, bo wszystkie wektory prostopadłe do tej płaszczyzny tworzą podprzestrzeń dwuwymiarową, czyli znów płaszczyznę. Dlatego niewiele pomaga w tym zadaniu odwoływanie się do wektorów prostopadłych.

Najlepiej zrobić tak jak radzi a4karo. Jeśli zaś chodzi o wyznaczenie odległości, to można skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ d( v_{n+1}, \mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \} ) = \frac{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_{n+1})}{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_n)},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k)}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_k}\) i wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_k) = \sqrt{ \det ( \left< v_i, v_j \right> )_{i, j = 1}^k }.}\)

[Unforg1ven]

\(\displaystyle{ d( v_{n+1}, \mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \} ) = \frac{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_{n+1})}{\mathrm{vol}(v_1, \ldots, v_n)},}\)

Czy dobrze rozumiem notacje, że \(\displaystyle{ v_{n+1}}\) jest dowolnym punktem należącym do drugiej płaszczyzny, tj. jak \(\displaystyle{ \Pi_1=\mathrm{lin} \{ v_1, \ldots, v_n \}}\) to \(\displaystyle{ v_{n+1} \in \Pi_2}\) ,czy to musi być jaki konkretny punkt żeby ten wzór był prawdziwy?

[a4karo]

Chyba najprostszy sposób obliczenia odległości między tymi płaszczyznami jest taki:
Zakładając, że są one równoległe możemy zrobić coś takiego:

Przesuwamy obie płaszczyzny o wektor \(\displaystyle{ -\overrightarrow{OA_1}}\). W ten sposób dostaniemy dwie płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_1'}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2'}\), z któych pierwsza przechodzi przez początek ukłądu \(\displaystyle{ O}\), a druga przez punkty \(\displaystyle{ B_1',B_2',B_3'}\).

Równanie wektorowe płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_2'}\) to \(\displaystyle{ \overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}}\)

Szukany kwadrat odległości to minimum funkcji \(\displaystyle{ ||\overrightarrow{OB_1'}+u\overrightarrow{B_1'B_2'}+v\overrightarrow{B_1'B_3'}||}\)
co sprowadza zagadnienie do znalezienia minimum prostej funkcji kwadratowej dwóch zmiennych.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \pi_{1}:}\)
\(\displaystyle{ p_{1,1}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,2} \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\2\\1\end{array}\right], \ \ p_{1,3} =\left[\begin{array}{ccc}-2\\2\\2\\1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \pi_{2}:}\)
\(\displaystyle{ p_{2,1}= \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\\8\end{array}\right], \ \ p_{2,2} = \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\3\\8\end{array}\right] \ \ p_{2,3} = \left[\begin{array}{ccc}-1\\5\\6\\6\end{array}\right].}\)

\(\displaystyle{ \pi_{1} = (0,2,1,1) + lin[(0, -2, 1, 0), (-2,0,1,0)]}\)

Rozwiązujemy układ równań opisujący przestrzeń styczną

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & -2 & 1 &0\\ -2 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 &0\\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} &0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} \right]}\)

Baza przestrzeni rozwiązań

\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{1} = [1, 1, 2, 0 ]}\)

Płaszczyzna styczna opisana jest równaniem

\(\displaystyle{ 1\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z + 0\cdot t = 0}\)

Z przesunięcia znajdujemy wyraz wolny

\(\displaystyle{ 1\cdot 0 +1\cdot 2 +2\cdot 1 + 0\cdot 1 = 4.}\)

Równanie płaszczyzny

\(\displaystyle{ \pi_{1}: x + y + 2\cdot z +0\cdot t = 4}\)

Podobnie znajdujemy równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_{2}}\)

\(\displaystyle{ \pi_{2} = (1,2,4,8) + lin[ (2,0,-1,0), (-2,3, 2, -2)]}\)

Przestrzeń styczna

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2 & 0 & -1 &0\\ 2 & 3 & 2 & -2 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 1 & -\frac{3}{2} & -1 & 1 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} \right]}\)

Baza

\(\displaystyle{ \math{B}_{2} = [ 3,-2, 6, 0]}\)

Równanie płaszczyzny stycznej

\(\displaystyle{ 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =0}\)

Wyraz wolny

\(\displaystyle{ 3\cdot 1 -2\cdot 2 +6\cdot 4 +0\cdot 8 = 23}\)

Równanie płaszczyzny

\(\displaystyle{ \pi_{2}: 3\cdot x -2\cdot y +6\cdot z +0\cdot t =23.}\)

Wektory kierunkowe płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_{1}, \pi_{2}}\)

\(\displaystyle{ [ 1, 1, 2, 0] \not\parallel [ 3, -2, 6, 0 ]}\) - płaszczyzny nie są równoległe.-- 23 cze 2019, o 19:44 --Wyżej opisany sposób znajdowania równań hiperpłaszczyzn pochodzi od Pana dr Michała Korcha z MiMUW.

[Dasio11]

Rozwiązujemy układ równań opisujący przestrzeń styczną

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & -2 & 1 &0\\ -2 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 &0\\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \rightarrow \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} &0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} \right]}\)

Baza przestrzeni rozwiązań

\(\displaystyle{ \mathcal{B}_{1} = [1, 1, 2, 0 ]}\)

Po pierwsze: ten układ równań nie opisuje przestrzeni stycznej, tylko przestrzeń prostopadłą. Po drugie: w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) przestrzeń prostopadła do płaszczyzny jest płaszczyzną, nie może więc mieć jednoelementowej bazy.

[janusz47]

Przestrzeń prostopadła do płaszczyzny w \(\displaystyle{ \RR^{3},\ \ t =0}\) nie jest płaszczyzną,więc ma jednoelementową bazę.