Rzad wierszowy dowód

[Izab321]

Jak dowieść , że rząd wierszowy (lub kolumnowy) nie zmieni się gdy dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy.
Bez straty ogólności zakładamy , że macierz \(\displaystyle{ A}\) ma wiersze \(\displaystyle{ w_1,w_2,...,w_m}\).
Macierz \(\displaystyle{ A'}\) ma wiersze \(\displaystyle{ w_1+w_2,w_2,...,w_m}\).

[MrCommando]

Rząd wierszowy to \(\displaystyle{ \mbox{dim span} (w_1,\dots,w_n)}\). Zauważ, że mnożenie wiersza przez liczbę, ani dodanie jednego wiersza do innego nie zmieni powłoki liniowej rozpiętej przez te wiersze. W szczególności \(\displaystyle{ \mbox{span}(w_1+w_2,w_2,\dots,w_n)=\mbox{span}(w_1,w_2,\dots,w_n)}\).

[Izab321]

Właśnie jak mamy \(\displaystyle{ \mbox{dim} \mbox{lin} (w_1,\dots,w_m)}\) to mamy już tu zawartą liniową niezależność?

Dlaczego nie zmieni powłoki, w sensie mnożenie przez skalar to oczywiste, ale jak dodamy wiersz pierwszy do drugiego to dlaczego powłoka będzie taka sama.
Chodzi o to , że nie za bardzo wiem na co się powołać przy dowodzie tego.

I jeszcze wymiar powłoki liniowej to liczba wektorów liniowo niezależnych rozpinających przestrzeń?
Bo w powłoce liniowej mogą byc też zarówno wektory liniowo niezależne.

Może to głupie pytania , ale staram sie wszystko analizować , a nie uczyć jak leci.

[MrCommando]

To czy te wektory są liniowo niezależne, to w ogóle nie jest ważne. Na przykład jak masz macierz wymiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), której wszystkie wyrazy są równe \(\displaystyle{ 1}\), to masz tak naprawdę trzy te same wektory. Obchodzi nas tylko to, że one generują jakąś przestrzeń i tyle (nie muszą wcale stanowić jej bazy). Z układu generatorów rozpinających przestrzeń możemy wszak wyodrębnić pewną bazę (którą w przypadku, który opisałem stanowi po prostu jeden wektor \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)).

Wymiar powłoki liniowej to z definicji wymiaru przestrzeni liniowej jest po prostu liczba wektorów w bazie tej przestrzeni.

Z kolei dowód tej równości odpowiednich powłok liniowych wydaje mi się tak trywialny, że szok (ale wbrew pozorom bywa często, że przy takich rzeczach najłatwiej się zawiesić ). Pokaż, że zachodzi inkluzja w jedną stronę, a potem w drugą. Stąd wynika równość.

[Izab321]

No tak , ale rząd wierszowy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy traktowanych jako kolumny, więc dlaczego liniowa niezależność nie ma tu nic do rzeczy?

[MrCommando]

Skoro te operacje, o których pisałem, nie zmieniają powłoki liniowej, to obydwa układy wektorów generują tą samą przestrzeń. Więc skoro tak naprawdę otrzymaliśmy tą samą przestrzeń, to i wymiar nie może ulec zmianie.