Mam problem z dowodem własności, że gdy dwie kolumny są takie same to wyznacznik równy jest 0. Ogólnie musze to udowodnić powołując się na permutacje.
Mam napisane, ze składników na pewno będzie parzyta liczba , bo n!, zatem mogę podzielić sumę na sumę dwóch składników , które są zerami. I te dwie sumy różnią się ttlko ztransponowanymi kolumnami(te dwie które są takie same), czyli znak się zmienia na przeciwny i suma całego jest 0.
Nie do końca rozumiem na jakiej zasadzie dzielimy te dwie sumy i dlaczego transponujemy kolumny akurat te dwie takie same i czy możemy to zrobić bez żadnych konsekwencji ?
Nwm czy jasno wyraziłam swoje obawy , ale może ktoś pomoże
Wlasnosci wyznacznika dowód
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wlasnosci wyznacznika dowód
Wyznacznik z definicji to suma pewnych iloczynów wyrazów macierzy (wziętych z odpowiednim znakiem), przy czym w każdym z tych iloczynów występuje jeden czynnik wzięty z jednej z dwóch rozważanych kolumn i drugi z drugiej (znajdujący się oczywiście w innym wierszu). Możemy te iloczyny pogrupować w pary. Powiedzmy, że w pewnym z nich występują czynniki \(\displaystyle{ x,y}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest wzięty z pierwszej kolumny, a \(\displaystyle{ y}\) z drugiej. Ale przecież w skład sumy stanowiącej wyznacznik wchodzi też taki czynnik, który w zasadzie jest identyczny jak ten poprzedni, ale w którym \(\displaystyle{ y}\) pochodzi z pierwszej kolumny, a \(\displaystyle{ x}\) z drugiej. Ma on przeciwny znak w stosunku do poprzedniego iloczynu, ponieważ permutacja odpowiadająca mu jest innej parzystości.
Obawiam się, że mogłem trochę zamieszać (mam nadzieję, że jednak jest jasne), ale jak nie jest zrozumiałe, to pytaj dalej
Obawiam się, że mogłem trochę zamieszać (mam nadzieję, że jednak jest jasne), ale jak nie jest zrozumiałe, to pytaj dalej
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wlasnosci wyznacznika dowód
A ściślej (co niekoniecznie znaczy lepiej):
\(\displaystyle{ \det (a_{i,j}) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)}.}\)
Załóżmy, że kolumna o numerze \(\displaystyle{ j_1}\) jest identyczna z kolumną o numerze \(\displaystyle{ j_2}\). Niech \(\displaystyle{ \tau \in S_n}\) będzie transpozycją, która zamienia miejscami \(\displaystyle{ j_1}\) z \(\displaystyle{ j_2}\), tj. \(\displaystyle{ \tau = ( j_1 \ j_2 )}\). Przypomnijmy, że \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza podzbiór \(\displaystyle{ S_n}\) złożony z permutacji parzystych. Jest prawdą, że
\(\displaystyle{ S_n = \bigcup_{\sigma \in A_n} \{ \sigma, \tau \circ \sigma \},}\)
a co więcej, zbiory w powyższej sumie są parami rozłączne. Mamy więc podział \(\displaystyle{ S_n}\) na pary permutacji, a zatem suma po \(\displaystyle{ S_n}\) dzieli się w analogiczny sposób:
\(\displaystyle{ \det (a_{ij}) = \sum_{\sigma \in A_n} \left[ \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} + \mathrm{sgn}( \tau \circ \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)} \right].}\)
Pozostaje wykazać, że każdy składnik w tej sumie się zeruje, bo wtedy oczywiście wyzeruje się również cała suma. Ustalmy więc \(\displaystyle{ \sigma \in A_n}\). Korzystając z parzystości permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\), a w konsekwencji - nieparzystości permutacji \(\displaystyle{ \tau \circ \sigma}\), upraszczamy:
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} + \mathrm{sgn}( \tau \circ \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)} = \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} - \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)}.}\)
Fakt, iż kolumny \(\displaystyle{ j_1}\) i \(\displaystyle{ j_2}\) są identyczne, oznacza że dla każdego \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots n}\) mamy \(\displaystyle{ a_{k, j_1} = a_{k, j_2}}\). Nietrudno sprawdzić, że wynika stąd równość \(\displaystyle{ a_{k, \tau \circ \sigma(k)} = a_{k, \sigma(k)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) jak wyżej, wobec czego rozważany przez nas składnik jest różnicą dwóch identycznych iloczynów, a zatem jest zerowy.
\(\displaystyle{ \det (a_{i,j}) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)}.}\)
Załóżmy, że kolumna o numerze \(\displaystyle{ j_1}\) jest identyczna z kolumną o numerze \(\displaystyle{ j_2}\). Niech \(\displaystyle{ \tau \in S_n}\) będzie transpozycją, która zamienia miejscami \(\displaystyle{ j_1}\) z \(\displaystyle{ j_2}\), tj. \(\displaystyle{ \tau = ( j_1 \ j_2 )}\). Przypomnijmy, że \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza podzbiór \(\displaystyle{ S_n}\) złożony z permutacji parzystych. Jest prawdą, że
\(\displaystyle{ S_n = \bigcup_{\sigma \in A_n} \{ \sigma, \tau \circ \sigma \},}\)
a co więcej, zbiory w powyższej sumie są parami rozłączne. Mamy więc podział \(\displaystyle{ S_n}\) na pary permutacji, a zatem suma po \(\displaystyle{ S_n}\) dzieli się w analogiczny sposób:
\(\displaystyle{ \det (a_{ij}) = \sum_{\sigma \in A_n} \left[ \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} + \mathrm{sgn}( \tau \circ \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)} \right].}\)
Pozostaje wykazać, że każdy składnik w tej sumie się zeruje, bo wtedy oczywiście wyzeruje się również cała suma. Ustalmy więc \(\displaystyle{ \sigma \in A_n}\). Korzystając z parzystości permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\), a w konsekwencji - nieparzystości permutacji \(\displaystyle{ \tau \circ \sigma}\), upraszczamy:
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn}( \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} + \mathrm{sgn}( \tau \circ \sigma ) \cdot \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)} = \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} - \prod_{k=1}^n a_{k, \tau \circ \sigma(k)}.}\)
Fakt, iż kolumny \(\displaystyle{ j_1}\) i \(\displaystyle{ j_2}\) są identyczne, oznacza że dla każdego \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots n}\) mamy \(\displaystyle{ a_{k, j_1} = a_{k, j_2}}\). Nietrudno sprawdzić, że wynika stąd równość \(\displaystyle{ a_{k, \tau \circ \sigma(k)} = a_{k, \sigma(k)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) jak wyżej, wobec czego rozważany przez nas składnik jest różnicą dwóch identycznych iloczynów, a zatem jest zerowy.