Znaleźć bazę ortonormalną podprzestrzeni.

[Unforg1ven]

Niech \(\displaystyle{ (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)}\) będzie bazą ortonormalną(w przestrzeni z standardowym iloczynem standardowym). Znajdź:
a)Bazę ortonormalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ V=<e_1+e_2+e_3+2e_4+3e_5,e_1+e_2+e_3-e_5>}\)
b)Dopełnienie ortonormalne \(\displaystyle{ V}\).
c)Bazę ortonormalną dopełnienia ortonomalnego \(\displaystyle{ V}\).

Zasadniczy problem mam w podpunkcie a), nie za bardzo rozumiem jak tu ma wyglądać ortonormalizacja Gramma-Schimidta.

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ v_1=e_1+e_2+e_3+2e_4+3e_5}\) oraz \(\displaystyle{ v_2=e_1+e_2+e_3-e_5}\). Wtedy można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \left\langle v_2, v_1\right\rangle=\left( e_1+e_2+e_3+2e_4+3e_5\right)\circ \left( e_1+e_2+e_3-e_5\right)=e_1\circ e_1 +e_2 \circ e_2+ e_3 \circ e_3-3 e_5 \circ e_5=0}\)

zatem nie potrzebna Ci ortogonalizacja GS bo te wektory już są ortogonalne. A normalizację możesz przeprowadzić dając

\(\displaystyle{ v^*_1= \frac{v_1}{\left| v_1\right| }}\)

\(\displaystyle{ v^*_2= \frac{v_2}{\left| v_2\right| }}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \left| v_1\right|= \sqrt{\left\langle v_1,v_1\right\rangle }= \sqrt{\left( e_1+e_2+e_3+2e_4+3e_5\right)\circ \left( e_1+e_2+e_3+2e_4+3e_5\right)}}\)

\(\displaystyle{ \left| v_2\right|= \sqrt{\left\langle v_2,v_2\right\rangle }= \sqrt{\left( e_1+e_2+e_3-e_5\right)\circ \left( e_1+e_2+e_3-e_5\right)}}\)

pamiętając, że \(\displaystyle{ e_i\circ e_j =0}\) gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ i=j}\) (z czego korzystałem już wcześniej) łatwo pokazać, że

\(\displaystyle{ \left| v_1\right|= \sqrt{16}=4}\)

\(\displaystyle{ \left| v_2\right|= \sqrt{4}=2}\)

zatem masz już wektory prostopadłe i jednostkowe.

[Unforg1ven]

Janusz Tracz,dzięki a mógłbyś mi wytłumaczyć jakby to byłoby w ogólnym przypadku? Gdyby \(\displaystyle{ v_1\circ v_2 \neq 0}\)?
Edit: Interesuje mnie punkt a) tylko.

[Janusz Tracz]

Wtedy algorytm ortogonalizacji GS już by się przydał. Powiedzmy, że mamy jak wcześniej dwa wektory niekonieczne prostopadłe \(\displaystyle{ \left\{ v_1,v_2\right\}}\). Wtedy bazą ortogonalną choć niekoniecznie ortonormalną będzie \(\displaystyle{ \left\{ u_1,u_2\right\}}\) gdzie:

\(\displaystyle{ u_1=v_1}\)

\(\displaystyle{ u_2=v_2- \frac{\left\langle v_2,u_1\right\rangle }{\left\langle u_1,u_1\right\rangle }u_1}\)

natomiast normalizacja będzie przebiegać standardowo czyli dzielenie przez długość. W przypadku większej liczby wektorów wyznaczamy \(\displaystyle{ u_3,u_4,...}\) zgodnie z zasadą

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta

.