Objętość czterowymiarowego równoległościanu

[Unforg1ven]

Oblicz objętość (czterowymiarową) czterowymiarowego równoległościanu w czterowymiarowej przestrzeni Euklidesa, którego jeden wierzchołek w pewnych układzie kartezjańskim ma współrzędne
\(\displaystyle{ a = \begin{bmatrix} -2\\-4\\-6\\-8 \end{bmatrix}}\)
zaś wierzchołki mające wspólną krawędź z a mają współrzędne
\(\displaystyle{ b = \begin{bmatrix} 5\\3\\2\\1 \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ c = \begin{bmatrix} \\5\\9\\7\\2 \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ d = \begin{bmatrix} \\6\\9\\8\\3 \end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ e = \begin{bmatrix} \\7\\6\\5\\4 \end{bmatrix}}\).
Jaka jest objętość (trójwymiarowa) jego „ściany bocznej” zawierającej wierzchołki abcd?'

Jakby rozumiem, że można by zmienić środek układu współrzędnych, tak ażeby znajdował się w punkcie o współrzędnych \(\displaystyle{ a}\), i dalej liczyć wyznacznik z macierzy, której kolumny są złożone z wektorów \(\displaystyle{ b-a}\), \(\displaystyle{ c-a}\)....
Jednak jakbym tak liczył to byłoby to nie przyjmę rachunkowo, stąd moje pytanie czy można by to jakoś wydajniej rachunkowo zrobić?

[janusz47]

a)
\(\displaystyle{ \mu_{4}[R(p_{0};\alpha_{1}; \alpha_{2}; \alpha_{3};\alpha_{4})] = \sqrt{W(\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})},}\)

\(\displaystyle{ \alpha_{i} = \vec{p_{0}p_{i}}, \ \ i = 1,2,3,4.}\)

\(\displaystyle{ W}\) - wyznacznik Grama

\(\displaystyle{ W = det(< \alpha_{i}, \alpha_{j}>), \ \ i, j = 1,2,...,4}\)

b)
\(\displaystyle{ \mu_{3}(S) = \frac{1}{3!}\sqrt{W(\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3})}.}\)

[Unforg1ven]

janusz47, Dobrze rozumiem notacje że w u mnie \(\displaystyle{ p_o}\) to jest ,,wektor' \(\displaystyle{ a}\) a \(\displaystyle{ \alpha_i}\) tj. \(\displaystyle{ b,c,d,e}\)?

[janusz47]

Tak, \(\displaystyle{ p_{0},}\) to jest ten wspólny wierzchołek \(\displaystyle{ a.}\)

\(\displaystyle{ \alpha_{1} = b-a, \ \ \alpha_{2}= c- a, \ \ \alpha_{3}= d-a, \ \ \alpha_{4}= e - a.}\)