Rzut ortogonalny

[El3na]

Niech \(\displaystyle{ V = \RR^{4} , W = Lin \left\{ \left( 1,-1, 1,-1 \right) \right\} , v = \left( 1, 1, 1, 1 \right)}\).
Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ v}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W^\perp}\).

Wiem,że \(\displaystyle{ \dim W + \dim W^\perp=\dim\RR^{4}}\) a więc oznacza to, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ W^\perp}\) musi składać się z 3 wektorów liniowo niezależnych.

Czy mogę przyjąć,że to będą np. takie wektory: \(\displaystyle{ W^\perp=lin\{ \left( 1,0,0,0 \right) , \left( 0,1,0,0 \right) , \left( 0,0,1,0 \right) \}}\), a następnie zoortogonalizować je metodą G−S,potem znormalizować (czyli ostatecznie \(\displaystyle{ v_{1} , v_{2} , v_{3} \right)}\) i dodać je do wzoru na rzut ortogonalny? :

\(\displaystyle{ v_{0} = \dfrac{\left\langle v,v_{1} \right\rangle}{||v_{1}||^{2}} \cdot v_{1} + \dfrac{\left\langle v,v_{2} \right\rangle}{||v_{2}||^{2}} \cdot v_{2} + \dfrac{\left\langle v,v_{3} \right\rangle}{||v_{3}||^{2}} \cdot v_{3}}\)

[janusz47]

258344.htm

[El3na]

Ogólnie wiem jak należy wyznaczyć ten rzut na innych przykładach,problemem jest tylko wybór tych wektorów do podprzestrzeni \(\displaystyle{ W^\perp}\).Czy mogę przyjąć dowolne 3 wektory liniowe niezależne np. właśnie te z bazy kanonicznej?

[a4karo]

A czy one są prostopadle do tego wektora?

[Dasio11]

W tym przypadku znacznie prościej wyznaczyć rzut prostopadły na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\), a następnie rzut na \(\displaystyle{ W^{\bot}}\) wyznaczyć z zależności \(\displaystyle{ v = P_{W}(v) + P_{W^{\bot}}(v)}\).

[El3na]

Co oznacza \(\displaystyle{ P(v)}\) ?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ P_W(v)}\) to rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ v}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\), i podobnie - \(\displaystyle{ P_{W^{\bot}}(v)}\) to rzut \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ W^{\bot}}\).