Długość wektora

[dondomano]

Witam. Nie mam zupełnie pomysłu na to zadanie, więc proszę o jakąś podpowiedź.

Mamy macierz \(\displaystyle{ A}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Ma ona wartości własne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Czy stąd wynika, że dla każdego wektora \(\displaystyle{ v}\) długości \(\displaystyle{ 1}\) wektor \(\displaystyle{ Av}\) ma długość mniejszą od \(\displaystyle{ 2018}\)?

Z góry dziękuję za pomoc

[Dasio11]

Skoro macierz rozmiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) ma dwie różne wartości własne, to ma dwa liniowo niezależne wektory własne \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) odpowiadające tym wartościom. Wtedy każdy wektor z \(\displaystyle{ \RR^2}\) przedstawia się jako kombinacja liniowa \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\).