Odległość pomiędzy prostymi skośnymi

[Izab321]

Dany jest szescian o boku \(\displaystyle{ a}\). Obliczyc odległosc miedzy prostymi skosnymi , z których jedna zawiera przekątną podstawy szescianu a druga przekątną sciany bocznej.

[Premislav]

Wywalone na algebrę liniową, zdałem jedynkę na 4,5, dwójkę na 3,5 i do widzenia, nie zamierzam się z tym użerać.

Umieśćmy ten sześcian w układzie współrzędnych w \(\displaystyle{ \RR^3}\) tak, że interesująca nas podstawa znajduje się w obszarze \(\displaystyle{ x\ge 0, y\ge 0, z=0}\) i dwie jej krawędzie zawierają się w osiach współrzędnych \(\displaystyle{ OX, \ OY}\).
Prosta zawierająca przekątną tej podstawy ma postać
\(\displaystyle{ y=x, z=0}\), zaś prosta zawierająca przekątną ściany bocznej nas interesującą ma postać
\(\displaystyle{ y=0, x+z=a}\)
gdyż przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (0,0,a)}\) i \(\displaystyle{ (a,0,0)}\)

Zapiszmy teraz równania tych prostych w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ y=x, z=0}\) możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ \left\{ \left( s,s,0\right): s\in \RR \right\}}\), natomiast
\(\displaystyle{ y=0, x+z=a}\) możemy zaprezentować w postaci
\(\displaystyle{ \left\{ (t,0, a-t): t\in \RR\right\}}\)

Odległość euklidesowa między dwoma punktami z tych prostych to po prostu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(s-t)^2+s^2+(t-a)^2}}\),
ale ponieważ pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnąca, więc
równie dobrze możemy zminimalizować kwadrat tej odległości, czyli
\(\displaystyle{ f(s,t)=(s-t)^2+s^2+(t-a)^2\\=a^2+2t^2-2at-2st+2s^2\\=2\left( s-\frac t 2\right)^2+\frac 3 2\left( t-\frac 2 3 a\right)^2+\frac 1 3 a^2\ge \frac 1 3 a^2}\)
i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ s=\frac 1 3 a, \ t=\frac 2 3 a}\).


Oczywiście można to policzyć jakimiś rzutowaniami, ale rzutów nienawidzę, rzutami się brzydzę.