Macierze odwzorowania/ jądro, obraz

[Izab321]

Niech \(\displaystyle{ f:V \rightarrow V}\) będzie endomorfizmem, a \(\displaystyle{ B=(e _{1},e _{2},e _{3} ), B'=(e' _{1},e' _{2},e' _{3} )}\) bazami przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), gdzie \(\displaystyle{ f(e _{1})=e _{1}-e _{2}+e _{3}, f(e _{2}) =2e _{1}-e _{3}, f(e _{3}) =-e _{1}+e _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ e _{1}=e' _{2}+e' _{3} e _{2}=e' _{1}-e' _{2}-e' _{3} e _{3}=e' _{1}-e' _{3}}\)

Obliczyłam macierz w bazie \(\displaystyle{ B}\) , macierz w bazie \(\displaystyle{ B'}\) macierz złożenia wszystko umiałam. Mam jednak problem ze znalezieniem jądra, obrazu odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) ich wymiarów i baz . Ktos podpowie jak to zrobić?

[Dasio11]

Ustalmy \(\displaystyle{ v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3 \in V}\). Wtedy

\(\displaystyle{ v \in \ker f \iff m^B_B(f) \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},}\)

czyli do rozwiązania jest układ równań.

Obraz \(\displaystyle{ f}\) jest przestrzenią liniową rozpiętą przez obrazy wektorów bazowych:

\(\displaystyle{ \mathrm{im} \, f = \mathrm{lin} \{ f(e_1), f(e_2), f(e_3) \}.}\)

Algorytm przekształcania zbioru rozpinającego w bazę jest standardowy: dla każdego wektora ze zbioru rozpinającego sprawdzasz, czy jest kombinacją liniową poprzednich, korzystając z zapisu tych wektorów w bazie \(\displaystyle{ B}\) (lub innej która akurat pasuje). Jeśli jest kombinacją, to go pomijasz, a jak nie jest, to zostawiasz, i na końcu zostaje baza.