Wyznacz macierz przekształcenia liniowego

[serkuson123]

Wyznacz macierz \(\displaystyle{ M}\) przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f\left( \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} \right) =\begin{bmatrix} -4x+3y\\3x+4y\end{bmatrix}}\) w nowej bazie \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix};\begin{bmatrix} -1\\3\end{bmatrix} \right\}}\)

Bardzo proszę o pomoc, będę bardzo wdzięczny

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ M=\left[ f(e_1),f(e_2)\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) to wektory bazy.

[MrCommando]

Janusz Tracz, nie do końca. Wszak wektory \(\displaystyle{ f(e_1),f(e_2)}\) zapisujemy w nowej bazie.

serkuson123, skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ M_B^B(F)=M_B^{kan}(id)\cdot M_{kan}^{kan}(F)\cdot M_{kan}^B(id)}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) to nowa baza. Jedną z macierzy występujących po prawej stronie równości już masz.

[serkuson123]

Czy mogę poprosić o wyjaśnienie co oznaczają te macierze we wzorze i jak je wyznaczyć? Jestem w tym temacie mocno początkujący, proszę o wyrozumiałość.

[MrCommando]

Jeżeli \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\) jest przekształceniem liniowym między skończenie wymiarowymi przestrzeniami, to przez \(\displaystyle{ M_B^A(F)}\) oznaczamy macierz tego odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ A, B}\) odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ V, W}\) (czasem zapisuje się też \(\displaystyle{ A}\) na dole, a \(\displaystyle{ B}\) na górze, więc uważaj - zależy jaki to skrypt/książka).

Macierz odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyznaczasz tak, że znajdujesz jego wartości na wektorach z bazy \(\displaystyle{ A}\) i następnie w kolejnych kolumnach macierzy wpisujesz współrzędne tych wartości w bazie \(\displaystyle{ B}\). Patrz tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://pl.m.wikipedia.org/wiki/Macierz

... _liniowego

Oczywiście oznacza to, że da się to zrobić bez tego wzoru (z definicji macierzy przekształcenia), ale dla mnie osobiście jest on tu najszybszy i najmniej obciążający rachunkowo (ale jak kto woli).

W Twoim przypadku mamy \(\displaystyle{ M_{kan}^{kan}(f)=\begin{bmatrix} -4& 3 \\ 3& 4\end{bmatrix}}\).

[serkuson123]

Czy to w takim razie oznacza

\(\displaystyle{ M_B^B(F)=\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&3\\3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7&-1\\9&12\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-15&-1\\30&12\end{array}\right]?}\)

Czy to jest końcowe rozwiązanie?

[MrCommando]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{3}{7}& \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7}& \frac{2}{7}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{7} & \frac{48}{7} \\ \frac{25}{7} & \frac{5}{7}\end{bmatrix}}\)
Średnio fajne te liczby wyszły...

[serkuson123]

Jeżeli ktoś wie jak zrobić to zadanie to proszę wytłumaczyć krok po kroku, żeby to też przydało się innym osobom które mają podobny problem. Muszę znać rozwiązanie co do którego będę miał 100% pewność.

[MrCommando]

No to chyba napisałem jak. Źle te macierze wyznaczyłeś po prostu, pokaż jak to robisz.

[serkuson123]

Już wiem. Tylko proszę mi powiedzieć czy mamy pewność co do tego wyniku co napisałeś MrCommando i ewentualnie jak to sprawdzić np. wolframalpha, czy coś podobnego?

[MrCommando]

Ja osobiście wklepałem to w Octave, więc pomyłki rachunkowej nie ma (polecam ten program). A zresztą w Internecie pełno jest kalkulatorów, które mnożą macierze. Dla przyspieszenia można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ M_{kan}^B (id)=(M_B^{kan} (id))^{-1}}\).

o choćby tu można sprawdzić. Tylko ułamków chyba się nie da wpisać, więc wpisz pierwszą macierz pomnożoną przez \(\displaystyle{ 7}\), żeby nie było tych ułamków. Powinieneś dostać wynik taki jak wrzuciłem, ale też pomnożony przez \(\displaystyle{ 7}\).

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{3}{7}& \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7}& \frac{2}{7}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{7} & \frac{48}{7} \\ \frac{25}{7} & \frac{5}{7}\end{bmatrix}}\)

Metoda i wynik są z całą pewnością poprawne.