Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 cze 2019, o 10:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kartuzy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Wyznacz macierz \(\displaystyle{ M}\) przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f\left( \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} \right) =\begin{bmatrix} -4x+3y\\3x+4y\end{bmatrix}}\) w nowej bazie \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix};\begin{bmatrix} -1\\3\end{bmatrix} \right\}}\)
Bardzo proszę o pomoc, będę bardzo wdzięczny
Bardzo proszę o pomoc, będę bardzo wdzięczny
Ostatnio zmieniony 12 cze 2019, o 11:31 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ M=\left[ f(e_1),f(e_2)\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) to wektory bazy.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Janusz Tracz, nie do końca. Wszak wektory \(\displaystyle{ f(e_1),f(e_2)}\) zapisujemy w nowej bazie.
serkuson123, skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ M_B^B(F)=M_B^{kan}(id)\cdot M_{kan}^{kan}(F)\cdot M_{kan}^B(id)}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) to nowa baza. Jedną z macierzy występujących po prawej stronie równości już masz.
serkuson123, skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ M_B^B(F)=M_B^{kan}(id)\cdot M_{kan}^{kan}(F)\cdot M_{kan}^B(id)}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) to nowa baza. Jedną z macierzy występujących po prawej stronie równości już masz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 cze 2019, o 10:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kartuzy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Czy mogę poprosić o wyjaśnienie co oznaczają te macierze we wzorze i jak je wyznaczyć? Jestem w tym temacie mocno początkujący, proszę o wyrozumiałość.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Jeżeli \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\) jest przekształceniem liniowym między skończenie wymiarowymi przestrzeniami, to przez \(\displaystyle{ M_B^A(F)}\) oznaczamy macierz tego odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ A, B}\) odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ V, W}\) (czasem zapisuje się też \(\displaystyle{ A}\) na dole, a \(\displaystyle{ B}\) na górze, więc uważaj - zależy jaki to skrypt/książka).
Macierz odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyznaczasz tak, że znajdujesz jego wartości na wektorach z bazy \(\displaystyle{ A}\) i następnie w kolejnych kolumnach macierzy wpisujesz współrzędne tych wartości w bazie \(\displaystyle{ B}\). Patrz tutaj ... _liniowego
Oczywiście oznacza to, że da się to zrobić bez tego wzoru (z definicji macierzy przekształcenia), ale dla mnie osobiście jest on tu najszybszy i najmniej obciążający rachunkowo (ale jak kto woli).
W Twoim przypadku mamy \(\displaystyle{ M_{kan}^{kan}(f)=\begin{bmatrix} -4& 3 \\ 3& 4\end{bmatrix}}\).
Macierz odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyznaczasz tak, że znajdujesz jego wartości na wektorach z bazy \(\displaystyle{ A}\) i następnie w kolejnych kolumnach macierzy wpisujesz współrzędne tych wartości w bazie \(\displaystyle{ B}\). Patrz tutaj
Kod: Zaznacz cały
https://pl.m.wikipedia.org/wiki/Macierz
Oczywiście oznacza to, że da się to zrobić bez tego wzoru (z definicji macierzy przekształcenia), ale dla mnie osobiście jest on tu najszybszy i najmniej obciążający rachunkowo (ale jak kto woli).
W Twoim przypadku mamy \(\displaystyle{ M_{kan}^{kan}(f)=\begin{bmatrix} -4& 3 \\ 3& 4\end{bmatrix}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 cze 2019, o 10:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kartuzy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Czy to w takim razie oznacza
\(\displaystyle{ M_B^B(F)=\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&3\\3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7&-1\\9&12\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-15&-1\\30&12\end{array}\right]?}\)
Czy to jest końcowe rozwiązanie?
\(\displaystyle{ M_B^B(F)=\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&3\\3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7&-1\\9&12\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-15&-1\\30&12\end{array}\right]?}\)
Czy to jest końcowe rozwiązanie?
Ostatnio zmieniony 12 cze 2019, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{3}{7}& \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7}& \frac{2}{7}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{7} & \frac{48}{7} \\ \frac{25}{7} & \frac{5}{7}\end{bmatrix}}\)
Średnio fajne te liczby wyszły...
Średnio fajne te liczby wyszły...
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 cze 2019, o 10:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kartuzy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Jeżeli ktoś wie jak zrobić to zadanie to proszę wytłumaczyć krok po kroku, żeby to też przydało się innym osobom które mają podobny problem. Muszę znać rozwiązanie co do którego będę miał 100% pewność.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
No to chyba napisałem jak. Źle te macierze wyznaczyłeś po prostu, pokaż jak to robisz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 cze 2019, o 10:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kartuzy
Re: Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Już wiem. Tylko proszę mi powiedzieć czy mamy pewność co do tego wyniku co napisałeś MrCommando i ewentualnie jak to sprawdzić np. wolframalpha, czy coś podobnego?
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Ja osobiście wklepałem to w Octave, więc pomyłki rachunkowej nie ma (polecam ten program). A zresztą w Internecie pełno jest kalkulatorów, które mnożą macierze. Dla przyspieszenia można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ M_{kan}^B (id)=(M_B^{kan} (id))^{-1}}\).
o choćby tu można sprawdzić. Tylko ułamków chyba się nie da wpisać, więc wpisz pierwszą macierz pomnożoną przez \(\displaystyle{ 7}\), żeby nie było tych ułamków. Powinieneś dostać wynik taki jak wrzuciłem, ale też pomnożony przez \(\displaystyle{ 7}\).
o choćby tu można sprawdzić. Tylko ułamków chyba się nie da wpisać, więc wpisz pierwszą macierz pomnożoną przez \(\displaystyle{ 7}\), żeby nie było tych ułamków. Powinieneś dostać wynik taki jak wrzuciłem, ale też pomnożony przez \(\displaystyle{ 7}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wyznacz macierz przekształcenia liniowego
Metoda i wynik są z całą pewnością poprawne.MrCommando pisze:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{3}{7}& \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7}& \frac{2}{7}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{7} & \frac{48}{7} \\ \frac{25}{7} & \frac{5}{7}\end{bmatrix}}\)