układ nierówności

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MariuszJ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 4 maja 2018, o 18:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kkkk

układ nierówności

Post autor: MariuszJ »

Mam układ nierówności z kilkoma niewiadomymi. W jaki sposób moge automatycznie szybko określić że on nie ma rozwiązań? Czyli że zbiory rozwiązań poszczególnych nierówności nie zachodzą na siebie, bo chyba nie ma innego przypadku. Mogą być wypadki gdy jest wiele współczynników zerowych w układzie.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: układ nierówności

Post autor: Janusz Tracz »

W przypadku układu nierówności liniowych można postawić pewne warunki wystarczające na istnienie rozwiązania oraz istnieją metody szukania go. Opis tych metod zejdziesz np w Układy równań i nierówności liniowych, Wiesław Krakowiak
. Natomiast w przypadku ogólnym czyli dla układów nierówności nieliniowych takich warunków nie ma (a przynajmniej o takowych nie słyszałem) ze względu na skomplikowaność i mnogość rozwiązań.
MariuszJ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 4 maja 2018, o 18:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kkkk

układ nierówności

Post autor: MariuszJ »

Oczywiście nierówności są liniowe bo dałem to do działu algebry liniowej. Natomiast ten artykuł matematyczny leży całkowicie poza moją zdolnością zrozumienia go bo nie jestem matematykiem. Potrzebne mi są proste instrukcje (algorytm) jak w poszczególnych krokach w miarę szybko to wybadać. Czyli mamy tabelkę współczynników przy niewiadomych po lewej stronie nierówności i wartości po prawej stronie nierówności. Wszystkie nierówności mamy ustawione jako <= albo <. Wiele współczynników przy niewiadomych może wynosić zero. Układ jest na przykład pięć niewiadomych i pięć nierówności. Prawdopodobnie będę miał tylko trzy niewiadome i trzy nierówności do małego programu komputerowego który ma automatycznie to sprawdzić.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: układ nierówności

Post autor: kerajs »

Jeśli ilość niewiadomych jest nie mniejsza niż ilość nierówności liniowych to układ posiada rozwiązanie jeśli wektory zawierające współczynniki przy niewiadomych w nierównościach nie są równoległe (nie są proporcjonalne).

Przy trzech niewiadomych i trzech nierównościach sprowadza się to do niezerowego wyznacznika z macierzy głównej.
Zastanów się, kiedy taki układ ma rozwiązanie (lub go nie ma), jeśli dwa lub trzy wektory są równoległe.
Ostatnio zmieniony 10 cze 2019, o 19:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
MariuszJ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 4 maja 2018, o 18:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kkkk

układ nierówności

Post autor: MariuszJ »

Czyli problem sprowadza się do równoległości, tylko wtedy może wystąpić przypadek braku rozwiązań?

Dwie proste potrafię sobie wyobrazić że są równoległe, nie pokrywają się i z jednego równania półpłaszczyzna idzie w górę od wyższej prostej a z drugiego w dół od niższej prostej i nie ma części wspólnej czyli nie ma rozwiązań. Przy większej ilości niewiadomych nie wiem jaka może być reguła. Wiem że eliminacją Gaussa można sprowadzić macierz do postaci trójkątnej i wtedy zero na przekątnej oznacza brak rozwiązań, ale to się stosuje do równości a nie do nierówności.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: układ nierówności

Post autor: kerajs »

Hmm, jak się teraz zastanawiam to sama nierównoległość nie wystarczy aby było rozwiązanie. Ale gdyby dodać liniową niezależność każdej trójki wektorów to chyba by wystarczyło.
MariuszJ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 4 maja 2018, o 18:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kkkk

układ nierówności

Post autor: MariuszJ »

Zaznaczam że program testowy może operować do pięciu niewiadomych i pięciu nierówności. Czyli problem jest równoległości i niezależności liniowej wszystkich nierówności potraktowanych jak równości czyli 1 od 2, 2 od 3, 3 od 4, 4 od 5? Mam nadzieję że zaokrąglanie liczb rzeczywistych w reprezentacji maszynowej nie będzie dodatkowym problemem. Wystarczy niewielka różnica współczynników i proste się zbiegną gdzieś dalej w dużej odległości. Ale to raczej nie powinno utrudniać, bo tak intuicyjnie wyczuwam, że te proste będą, dużo szybciej niż się zbiegną, przecięte przez inną prostą, która ograniczy dziedzinę. Gdyby jednak nie były przecięte przez inną prostą to może by postępować zgodnie z sugestią dr Barona, który sprawdza niezależność liniową przez różnice między współczynnikami i gdy ta różnica jest bardzo małą liczbą, to przyjmuje że różnicy nie ma czyli że współczynniki są te same. Przykład z prostymi tworzącymi wielobok dziedziny też nie jest najlepszy bo opisuje równania z jedną niewiadomą. Nie możemy zakładać że będzie tak dużo zer przy współczynnikach zmiennych. Powstanie dodatkowa trudność ustalenia jak te wielowymiarowe ograniczenia wyglądają.

W każdym razie, jako że nie jestem matematykiem i potrzebuje tylko prosty algorytm do napisania programu, musiałbym to mieć wyłożone bardzo prosto w opisowy sposób.
ODPOWIEDZ