Określoność formy kwadratowej w zależności od parametru

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Określoność formy kwadratowej w zależności od parametru

Post autor: Izab321 »

Mam problem z zadaniem :

\(\displaystyle{ g: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}, g(x,y,z)= 3\alpha x_1^2+(2\alpha -1)x_2^2+\alpha x_3^2-2\alpha x_1 x_3+2\alpha x_2 x_3+(2-4\alpha )x_1 x_2}\)

Próbowałam robić z tw. Sylvestera ale wtedy nie ustale kiedy jest półokreślona
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Określoność formy kwadratowej w zależności od parametru

Post autor: Dasio11 »

Dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\) i zbioru \(\displaystyle{ I = \{ i_1, \ldots, i_k \} \subseteq \{ 1, \ldots, n \}}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ \Delta_I(A)}\) minor główny \(\displaystyle{ A}\) rozmiaru \(\displaystyle{ k \times k}\) utworzony z wierszy i kolumn o numerach \(\displaystyle{ i_1, \ldots, i_k}\). W szczególności przyjmuje się, że \(\displaystyle{ \Delta_{\varnothing}(A) = 1}\). Postępując podobnie jak w dowodzie kryterium Sylvestera, można pokazać następujący fakt:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ Q : \RR^n \to \RR}\) jest formą kwadratową na \(\displaystyle{ \RR^n}\) o macierzy \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ \varnothing = I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq \ldots \subsetneq I_n = \{ 1, \ldots, n \}}\) i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \Delta_{I_k}(A) \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k < n}\). Wtedy istnieje baza \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\), w której forma \(\displaystyle{ Q}\) się diagonalizuje:

\(\displaystyle{ m^{\mathcal{B}}(Q) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{pmatrix},}\)

a ponadto dla \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\) liczby \(\displaystyle{ \Delta_{I_k}(A)}\) i \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^k \lambda_j}\) mają ten sam znak \(\displaystyle{ \in \{ -, 0, + \}}\).
W tym zadaniu

\(\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 3 \alpha & 1 - 2\alpha & -\alpha \\ 1 - 2\alpha & 2\alpha - 1 & \alpha \\ -\alpha & \alpha & \alpha \end{pmatrix}}\)

więc

\(\displaystyle{ \Delta_{\varnothing}(A) = 1 \\
\Delta_{\{1\}}(A) = 3 \alpha \\
\Delta_{\{2\}}(A) = 2 \alpha - 1 \\
\Delta_{\{3\}}(A) = \alpha \\
\Delta_{\{1, 2\}}(A) = (2\alpha - 1)(\alpha + 1) \\
\Delta_{\{2, 3\}}(A) = \alpha (\alpha - 1) \\
\Delta_{\{1, 3\}}(A) = 2 \alpha^2 \\
\Delta_{\{1, 2, 3\}}(A) = \alpha(\alpha - 1)(\alpha + 1).}\)


Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), to korzystając z przytoczonego faktu dla ciągu \(\displaystyle{ \varnothing \subsetneq \{ 3 \} \subsetneq \{ 1, 3 \} \subsetneq \{ 1, 2, 3 \}}\), łatwo wyznaczyć sygnaturę formy (a stąd półokreśloność). Dla \(\displaystyle{ \alpha = 0}\) można powtórzyć procedurę dla ciągu \(\displaystyle{ \varnothing \subsetneq \{ 2 \} \subsetneq \{ 1, 2 \} \subsetneq \{ 1, 2, 3 \}}\).
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Re: Określoność formy kwadratowej w zależności od parametru

Post autor: Izab321 »

A nie da się tego zrobić w bardziej standardowy sposób, nwm czy możemy na kolokwium posługiwać się twierdzeniami których nie było na wykładzie
ODPOWIEDZ