Endomorfizm/ diagonalizowalność

[Izab321]

a) Niech \(\displaystyle{ v _{1},v _{2},v _{3} \in \RR ^{3}}\) i niech \(\displaystyle{ B'=(u _{1},u _{2},u _{3})}\), gdzie \(\displaystyle{ u _{1}=v _{1}+v _{2} , u _{2}=v _{2}-v _{3} , u _{3}=v _{3}}\), będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ B=(v _{1},v _{2},v _{3} )}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) .

b) Niech ponadto \(\displaystyle{ f:\RR ^{3} \rightarrow \RR ^{3}}\) będzie endomorfizmem takim, że \(\displaystyle{ f(u _{1})=u _{1}, f(u _{2})=-u _{2},f(u _{3})=-2u _{3}}\). Zbadac diagonalizowalność tego endomorfizmu oraz podać \(\displaystyle{ \ker f}\) i \(\displaystyle{ \text{im} f}\).

c) Wykorzystując macierz \(\displaystyle{ M _{f} (B')}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{7}(v _{1}+v _{3})}\)

Czy ktoś pomógłby mi z tym zadaniem, nwm jak się do niego zabrać

[MrCommando]

a) Wystarczy jak pokażesz, że \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) są liniowo niezależne.

b) Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza przestrzeni, na której jest on określony, złożona z jego wektorów własnych. To czy ona istnieje, to widać z definicji tego endomorfizmu. A poza tym skoro \(\displaystyle{ u_1,u_2,u_3}\) są liniowo niezależne, to \(\displaystyle{ u_1,-u_2,-2u_3}\) również. A skoro te trzy ostatnie wektory rozpinają obraz, to jakie wnioski co do wymiarów jądra i obrazu?

c) Jak wygląda ta macierz? Wynika to z podpunktu b).

[Izab321]

Właśnie nie do końca wiem jak sprawdzić tą diagonalizowalność albo ją pokazać.

[MrCommando]

No to zacznijmy od tego, jakie wektory i wartości własne ma ten endomorfizm? Jest to w zasadzie napisane w poleceniu. W ogóle czym są wektory i wartości własne? Jeżeli znasz definicję, to zobaczysz od razu odpowiedź na moje pytanie.

[Izab321]

Wracając jeszcze do tego zadania to chce się upewnić co do tego jądra i obrazu więc wychodzi ,że obraz ma wymiar \(\displaystyle{ 3}\) , i baza obrazu to \(\displaystyle{ (u _{1},-u _{2}, -2u _{3})}\) a zatem jądro składa się z wektora zerowego i wymiar \(\displaystyle{ 0}\)?
Dobrze myślę?

A gdyby było, że \(\displaystyle{ f(u _{3} )=0}\)? To wtedy baza obrazu to\(\displaystyle{ ((u _{1},-u _{2})}\), a baza jadra to \(\displaystyle{ (u _{3})}\) tak?

[MrCommando]

Zgadza się, dobrze.