Udowodnij, że macierz jest odwracalna.

[dondomano]

Dzień dobry. Zadanie z którym mam problem wygląda następująco:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą rozmiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\) mająca trzy różne, niezerowe wartości własne. Niech \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz identycznościową rozmiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Dowieść, że macierz \(\displaystyle{ A + A^{-1} + I}\) jest macierzą odwracalną.

Z powodu tego, iż macierz \(\displaystyle{ A}\) posiada 3 różne, niezerowe wartości własne, to mogą ją zdiagonalizować i zapisać w postaci: \(\displaystyle{ PDP^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest postaci \(\displaystyle{ PD^{-1}P^{-1}}\), gdzie każdy element \(\displaystyle{ D^{-1}}\), to element odwrotny to wartości własnej. Jednakże w tym momencie się zatrzymałem i nie wiem co mam dalej zrobić. Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[MrCommando]

Na razie nie mam czasu, żeby głębiej spojrzeć na to, ale na szybko, to może tak \(\displaystyle{ PAP^{-1}+PA^{-1}P^{-1}+PP^{-1}=P(D+D^{-1}+I)P^{-1}}\). Wyznacznik powyższej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy \(\displaystyle{ D+D^{-1}+I}\), która jest macierzą diagonalną, więc łatwo policzyć jej wyznacznik.

[dondomano]

Wtedy wyznacznik macierzy to \(\displaystyle{ \det \left( P \right) \cdot \det \left( D+D^{-1}+I \right) \cdot \frac{1}{\det \left( P \right) }=\det \left( D+D^{-1}+I \right)}\), natomiast \(\displaystyle{ \det \left( D+D^{-1}+I \right) = \left( t_1+\frac{1}{t_1}+1 \right) \cdot \left( t_2+\frac{1}{t_2}+1 \right) \cdot \left( t_3+\frac{1}{t_3}+1 \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ t_1, t_2, t_3}\) to wartości własne. Tylko wtedy to się sprowadza do tego, że \(\displaystyle{ \forall i}\) \(\displaystyle{ t_i+\frac{1}{t_i}+1 \neq 0}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\), czyli \(\displaystyle{ t_i^2+t_i+1 \neq 0}\), tylko to ma rozwiązanie w zespolonych, a nie jest nic wspomniane, że wartości własne pochodzą ze zbioru liczb rzeczywistych. :/

[MrCommando]

No to zadanie jest bez sensu, bo dla macierzy \(\displaystyle{ A=\mbox{diag} \left(-\frac{1+\sqrt{3}i}{2},-\frac{1-\sqrt{3}i}{2},1\right)}\) ten warunek nie zachodzi.

[dondomano]

A to jest zadanie z egzaminu licencjackiego z mojej uczelni (zad 4): ... w-1902.pdf. Ciekawe.

[MrCommando]

To dość dziwne, bo dla takiej macierzy, jaką podałem \(\displaystyle{ A+A^{-1}+I}\) jest macierzą, która ma dwa wiersze zerowe i na ostatnim miejscu w trzecim wierszu jest trójka. Raczej nie ma mowy o pomyłce, bo sprawdziłem na komputerze obliczenia. Może autorzy zadania mieli na myśli rzeczywiste wartości własne, tylko wkradła się taka nieścisłość (nie wydaje mi się, żebyśmy coś źle robili). Ja na egzaminie bym najpewniej zapytał o to, jakby nic nie wychodziło sensownego.

[dondomano]

Też mi się tak wydaje. W każdym razie, dziękuję za pomoc i poświęcony czas!

[Jan Kraszewski]

Sprawdziłem u źródła: chodziło o rzeczywiste wartości własne, w czasie egzaminu nikt nie zgłaszał wątpliwości. Ale gdybyś się zapytał, to dostałbyś doprecyzowującą odpowiedź.

JK